廣東省六校20xx屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題word版含解析(更新版)
【正文】 是解答類似問題的常用方法 ． 21. 已知函數(shù) ，其中 ． （ Ⅰ ）函數(shù) 的圖象能否與 軸相切？若能，求出實(shí)數(shù) a，若不能，請(qǐng)說明理由； （ Ⅱ ）求最大的整數(shù) ，使得對(duì)任意 ，不等式 恒成立． 【答案】（ 1）不能（ 2） 【解析】 試題分析 ： （ Ⅰ ） 假設(shè)函數(shù) 的圖象能與 軸相切 ． 設(shè)切點(diǎn)為 ， 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于 的方程，然后判斷此方程是否有解即可得到結(jié)論 ．（ Ⅱ ） 將不等式變形為,設(shè) ， 則問題等價(jià)于 對(duì)任意 恒成立 ， 故只需函數(shù) 在 R上單調(diào)遞增 ， 因此在 R上恒成立即可，由 可得 ，即為 成立的必要條件，然后再證 時(shí) ， 即可得到結(jié)論 ． 試題解析 ： （ Ⅰ ） ∵ ， ∴ ． 假設(shè)函數(shù) 的圖象與 軸相切于點(diǎn) ， 則有 ， 即 ． 顯然 ， 將 代入方程 中可得 ． ∵ ， ∴ 方程 無解． 故無論 a取何值，函數(shù) 的圖象都不能與 軸相切． （ Ⅱ ） 由題意可得原不等式可化為 ， 故不等式 在 R上恒成立． 設(shè) ，則上式等價(jià)于 ， 要使 對(duì)任意 恒成立， 只需函數(shù) 在 上單調(diào)遞增， ∴ 在 上恒成立． 則 ， 解得 ， ∴ 在 上恒成立的必要條件是： ． 下面證明：當(dāng) 時(shí)， 恒成立． 設(shè) ，則 ， 當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增 ． ∴ ，即 ． 則當(dāng) 時(shí)， ， ； 當(dāng) 時(shí)， ， ． ∴ 恒成立． 所以實(shí)數(shù) 的最大整數(shù)值為 3． 點(diǎn)睛 ： （ 1）解決探索性問題時(shí)，可先假設(shè)結(jié)論成立，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，若得到矛盾，則假設(shè)不成立；若得不到矛盾，則假設(shè)成立 ． （ 2） 解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù) ， 將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù) 單調(diào)遞增的問題處理 ， 然后轉(zhuǎn)化為 恒成立，可求得實(shí)數(shù) a的值 ． （二）選考題：共 10分 . 請(qǐng)考生在第 2 23題中任選一題作答 . 如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 . 22. 已知直線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)， ），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為 ，射線 ，分別與曲線 交于 三點(diǎn)（不包括極點(diǎn) ） . (Ⅰ) 求證： ； (Ⅱ) 當(dāng) 時(shí)，若 兩點(diǎn)在直線 上，求 與 的值 . 【答案】 (Ⅰ) 證明見解析； (Ⅱ) . 【解析】 試題分析： (Ⅰ) 由曲線 C的極坐標(biāo)方程可得點(diǎn) 的極徑，即得到 ， 計(jì)算后即可證得結(jié)論正確 ． (Ⅱ) 根據(jù) 可求得點(diǎn) B,C的極坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)后可得直線 BC的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合方程可得 與 的值． 試題解析： （ Ⅰ ）證明：依題意， ， ， ， 則 ． （ Ⅱ ）當(dāng) 時(shí)， 兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為 ， ， 故兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 ， . 所以經(jīng)過點(diǎn) 的直線方程為 ， 又直線 經(jīng)過點(diǎn) ，傾斜角為 ， 故 ， ． 23. 已知函數(shù) . (Ⅰ) 若 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍； (Ⅱ) 若不等式 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍 . 【答案】 (Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【解析】 試題分析： （ Ⅰ ） 由 可得 ， 根據(jù)分類討論法解不等式組即可 ．（ Ⅱ ） 根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義求得 的最小值為 ， 由 可得實(shí)數(shù) 的取值范圍． 試題解析 ： （ Ⅰ ） 由 可得 ， ， ① 當(dāng) 時(shí)，不等式化為 ， 解得 ， ∴ ； ② 當(dāng) 時(shí)，不等式化為 ， 解得 ， ∴ ； ③ 當(dāng) 時(shí)，不等式化為 ， 解得 ， ∴ . 綜上實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ． （ Ⅱ ） 由 及絕對(duì)值的幾何意義可得 ， 當(dāng) 時(shí)， 取得最小值 ． ∵ 不等式 恒成立， ∴ ，即 ， 解得 或 ． ∴ 實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
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