北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)46二倍角的三角函數(shù)(更新版)
【正文】 － 2 ac c os B ， a ＋ c ＝ 3 ， tan B ＝73， 故得 sin B ＝74， c os B ＝34， ac ＝ 2. 所以 S △ABC＝12ac si n B ＝12 2 74＝74. 正、余弦定理的綜合應(yīng)用 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別為 a ， b ，c 且 b2＋ c2－ a2＋ bc ＝ 0. (1) 求角 A 的大小； (2) 若 a ＝ 3 ，求 bc 的最大值； (3) 求a sin ? 30176。a2＋ b2－ c22 ab＝ 0 ， 整理，得 b2＋ c2－ a2＝ bc ， ∴ c os A ＝b2＋ c2－ a22 bc＝12， ∵ 0 A π ， ∴ A ＝π3. ( 2) ∵ S △ABC＝12bc sin A ＝3 34， 即12bc sinπ3＝3 34， ∴ bc ＝ 3 ， ① ∵ a2＝ b2＋ c2－ 2 bc c os A ， a ＝ 3 ， A ＝π3， ∴ b2＋ c2＝ 6 ， ② 由 ①② 得 b ＝ c ＝ 3 . 易 錯(cuò) 警 示 局限表面，忽視隱含條件 設(shè) △ ABC 的內(nèi)角 A 、 B 、 C 的對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a 、b 、 c ， c os( A － C ) ＋ c os B ＝32， b2＝ ac ，求 B . [ 錯(cuò)解 ] 由 c os( A － C ) ＋ c os B ＝32，將 B ＝ π － ( A ＋ C ) 代入c os( A － C ) ＋ c os B ＝32，得， c os( A － C ) － c os( A ＋ C ) ＝32.利用兩角和與差的余弦公式展開(kāi)得 sin A sin C ＝34.又由 b2＝ ac ，利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，得 sin2B ＝ sin A s in C ，進(jìn)而得 sin B ＝32.故 B ＝π3或2π3. [ 錯(cuò)因分析 ] 事實(shí)上，當(dāng) B ＝2π3時(shí)，由 c os B ＝－ c os( A ＋C ) ＝－12，進(jìn)而得 c os( A － C ) ＝ c os( A ＋ C ) ＋32＝ 2 1 ，矛盾，應(yīng)舍去．也可利用若 b2＝ ac ，則 b ≤ a 或 b ≤ c ，從而舍去 B ＝2π3. [ 正確解答 ] 由 c os( A － C ) ＋ c os B ＝32及 B ＝ π － ( A ＋ C ) ，得c os( A － C ) － c os( A ＋ C ) ＝32， c os A c os C ＋ sin A sin C － ( c os A c os C － sin A sin C ) ＝32， sin A sin C ＝34. 由 b2＝ ac 及正弦定理，得 sin2B ＝ sin A s in C ， 故 sin2B ＝34， sin B ＝32或 sin B ＝－32( 舍去 ) ， 于是 B ＝π3或 B ＝2π3. 又由 b2＝ ac 知 b ≤ a 或 b ≤ c ，所以 B ＝π3. [ 誤區(qū)警示 ] 解 三角形中，應(yīng)特別注意問(wèn)題中的隱含條件，即正弦定理和余弦定理，三角形的面積公式，三角形中的邊角關(guān)系，內(nèi)角和定理等．本題隱含條件 b ≤ a 或 b ≤ c ，極其隱蔽．本小題考生得分易，但得滿分難 . 名 師 點(diǎn) 睛 一條規(guī)律 在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在 △ ABC 中， A B ? a b ?sin A sin B . 兩類問(wèn)題 在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問(wèn)題： ( 1 ) 已知兩角及任一邊，求其它邊或角； ( 2 ) 已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角．情況 ( 2 ) 中結(jié)果可能有一解、兩解、無(wú)解，應(yīng)注意區(qū)分． 余弦定理可解決兩類問(wèn)題： ( 1) 已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角； ( 2) 已知三邊，求各角． 兩種途徑 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑： ( 1) 化邊為角； ( 2) 化角為邊，并常用正弦 ( 余弦 ) 定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換．
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