高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1第3章空間向量與立體幾何22(更新版)
【正文】 ① 設(shè)直線 l的方向向量是 a， 平面 α的法向量是 u， 則要證明l∥ α， 只需證明 a⊥ u， 即 ab＝ 0. (2)線面垂直 ① 設(shè)直線 l的方向向量是 a， 平面 α的法向量是 u， 則要證 l⊥ α，只需證明 a∥ u. ② 根據(jù)線面垂直的判定定理 ， 轉(zhuǎn)化為直線不平面內(nèi)的兩條相交直線垂直 .即： 設(shè) a、 b在平面 α內(nèi) (戒不平面 α平行 )且 a不 b丌共線 ， 直線 l的方向向量為 c， 則 l⊥ α?c⊥ a且 c⊥ b?a PA＝ BC ＝ AD＝ 1， 問(wèn)在棱 PD上是否存在一點(diǎn) E， 使 CE∥ 平面 PAB？若存在 ， 求出 E點(diǎn)的位置；若丌存在 ， 說(shuō)明理由 . 12 解 分別以 AB， AD， AP為 x， y， z軸建立空間 直角坐標(biāo)系 ， ∴ P(0,0,1)， C(1,1,0)， D(0,2,0)， 設(shè) E (0 ， y ， z ) ，則 PE→ ＝ (0 ， y ， z － 1) ， PD→ ＝ (0,2 ，－ 1) ， ∵ PE→ ∥ PD→ ， ∴ y(－ 1)－ 2(z－ 1)＝ 0， ① ∵ AD→ ＝ (0, 2,0) 是平面 P A B 的法向量， 又 CE→ ＝ ( － 1 ， y － 1 ， z ) ， CE ∥ 平面 P A B ， ∴ CE→ ⊥ AD→ ， ∴ ( － 1 ， y － 1 ， z )c＝ 0， AB 1→ ＝ a ＋ c ， AM→ ＝12 ( a ＋ b ) ， AN→ ＝ b ＋14 c ， MN→ ＝ AN→ － AM→ ＝－ 12 a ＋12 b ＋14 c ， ∴ AB 1→ u＝ 0 (1)線線垂直 設(shè)直線 l的方向向量為 a＝ (a1， a2， a3)， 直線 m的方向向量為 b＝ (b1， b2， b3)， 則 l⊥ m? ? ? . (2)線面垂直 設(shè)直線 l的方向向量是 u＝ (a1， b1， c1)， 平面 α的法向量是 v＝(a2， b2， c2)， 則 l⊥ α?u∥ v? . a⊥ b a1b1＋ a2b2＋ a3b3＝ 0 a ＋14 ＝ 0. ∴ AB 1→ ⊥ MN→ ， ∴ AB 1 ⊥ MN . 方法二 (坐標(biāo)法 ) 設(shè) AB中點(diǎn)為 O， 作 OO1∥ AA1. 以 O為坐標(biāo)原點(diǎn) ， OB為 x軸 ， OC為 y軸 ， OO1為 z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 . 由已知得 A ( －12， 0,0) ， B (12， 0,0) ， C (0 ，32， 0) ， N (0 ，32，14) ，B 1 (12， 0,1) ， M (14，34， 0) . ∴ MN→＝ ( －14 ，34 ，14 ) ， AB 1→＝ (1, 0,1) ， ∴ MN→ DS→＝ 0 ? t ＝13 . 即當(dāng) SE ∶ EC ＝ 2 ∶ 1 時(shí)， BE→⊥ DS→. 而 BE丌在平面 PAC內(nèi) ， 故 BE∥ 平面 PAC. 規(guī)律方法 在數(shù)學(xué)命題中 ， 結(jié)論常以 “ 是否存在 ” 的形式出現(xiàn) ， 其結(jié)果可能存在 ， 需要找出來(lái)；可能丌存在 ， 則需要說(shuō)明理由 .解答這一類問(wèn)題時(shí) ， 先假設(shè)結(jié)論存在 ， 若推證無(wú)矛盾 ， 則結(jié)論存在；若推證出矛盾 ， 則結(jié)論丌存在 . 跟蹤演練 3 空間圖形 PABCD中 ， ABCD是菱形 ， ∠ ABC＝60
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