【正文】 l,whichlwrittenbe根據這一特點，設置一個布爾函數 y=f(i)，當 f(i)=true時表示從編號為的區(qū)域開始游戲 Ann存在著贏得游戲的必勝策略，當 f(i)=false時則表示 Billy存在著贏得游戲的必勝策略。l B集合有一個非常重要的性質：一旦士兵走入了某一個 B集合， Billy總能夠使士兵始終處于該集合當中，而 Ann無法使士兵走出該集合。算法框架while朱 IntroductionGame（法）讓將已確定 f值的節(jié)點從圖中刪除；}將剩余的節(jié)點的 f置值為 True.l 下面簡單的論證一下該算法的正確性。do{因此只要士兵走進某一個 B集合當中，那么 Billy必然會贏得比賽的勝利，故所有 B集合當中的節(jié)點的 f值都為 False。那么，可以得到這樣一個遞推公式：構圖l 為了便于思考，將問題簡化一下：把 a+b個區(qū)域看成 a+b個節(jié)點，節(jié)點編號與區(qū)域編號對應，如果編號為 i的區(qū)域是編號為 j的區(qū)域的后繼區(qū)域，就從編號為 i的節(jié)點向編號為 j的節(jié)點連一條有相弧 i?j，這樣便構成了一個由 a+b個節(jié)點構成的有向圖。inascendingshouldhasindicates30000.fieldsTheonbyfield.thewrittenktheik=belongingfieldsthethethefieldsofbyarefirstinAnnboard,themovesgameahasgame,oncesecondQinthethestartgame(wetheirthenamove.l Atofvicemovebelonginginfieldthel ForAnn,withbyrestSomeistwol 也就是說無論如何， n*m的棋盤都是先手必勝狀態(tài)。l 左上角的格子 (1,1)是不能選的。則我們設 H左邊有 n個 T的狀態(tài)x?y=x*yx?x=3*x/20?x=07并且從 72開始， SG值以 12為循環(huán)節(jié)，不斷的重復出現，這樣我們求出所有 SG值的復雜度就降到了常數，這樣判斷第一步的如何選擇的復雜度就降為了 O(N)。874112624如果只要求你求出你第一步應該如何行動，那么這種普通的方法需要 O(N2)的復雜度，顯然不能令我們滿意。⊕l SG的妙處就是把多圖游戲轉化成了 Nim Game。a2’… ⊕ ⊕0，那么先手必敗，否則必勝。ak ，如果： a1有多個圖，每個圖都有一個當前節(jié)點。l 如果游戲者處在一個點 x， g(x)=0。（邊界條件）SG函數的內涵l g(x)就是 x的后繼點的 SG值中沒有出現過的最小值。每個人每次可以從當前點出發(fā)沿著一條有向邊走到另外一個點。局面的異或值肯定不為 0），而對手一次最多將一堆石子數大于 1的石子堆處理掉。2. 如果恰好只有一堆石子數目大于 1。 為 n堆石子數目。01——————01P1P2P3P4=3,5,10,15P n…R n部分先取子。P2P n…XOR’對 m+1求余得到 P1…Pi’=S=0，即 S’=Pi證明：1. 當 P1=P2=….=P n=0時， S=0，滿足終狀態(tài)是 P局面。XORl 有什么規(guī)律呢？結論定理：l 若有 m堆石子，每堆有 k顆石子， m堆為奇數時，先手必勝。那么他的對手無論怎么取，都會使得局面又變成 0局面。P3 XORXORXORP nP n’證明：l 將 P1P2P3…’…R n部分取子，則后手取 k顆，先手方取 mk+1顆，先手始終保持不對 R1R2R3…如果每一位結果都是 0，則為 P局面，否則是 N局面l 示例 15P n對于 Pi的第 1到 (W1)位，逐個判斷，第 j位如果為 0則 Inc(D0[j])，否則 Inc(D1[j])。l 什么情況下先手必勝，什么情況下后手必勝 ?第一堆： a1=3 第二堆： a2=3 第三堆： a3=1結論1. 所有石子堆的數目都為 1：顯然，若有偶數堆石子堆，則必勝，否則必敗。的局面（容易證明，情況 2給定有向無環(huán)圖 G=(V,E)和一個起始點，雙方輪流行動。x,y∈ E}如果 x的出度為 0，那么 g(x)=0。也就是說：游戲者可以通過一步走棋把 圖的當前狀態(tài)值 任意的減?。ó斎槐仨毐ＷC狀態(tài)值始終 =0）。SG函數在多圖游戲中的應用l 多圖游戲 …,=……⊕⊕l 證畢。l 其中 SG(1)=1， SG(2)=2， SG(1， 1)=SG(1)時間復雜度為 O(N)11473748~59的 SG值為： 41422基本理論 1.x?(y⊕z)=x?y⊕x?z由于每一個狀態(tài)可以分解成只有一個反面朝上的子狀態(tài)，則我們只要考慮這種情況的 g()函數。l 比如右圖 5*5的棋盤，某一個人選X，就可以把紅色的格子全部拿走。不妨設這個狀態(tài)是 B：l 我們發(fā)現，在一開始游戲的時候，先手可以直接達到 B狀態(tài)；而 B是必敗狀態(tài)，所以原棋盤還是必勝狀態(tài)。fortaskboard.thenumberedfieldstoBilly.containingthischosenfieldoneandsetsaputP,fromfieldThethewhenonIffieldtheleasttheAnnsuchthewhatfromthewhichresultthethereseparatednumberofsatisfyInofofones1z,fieldandThenareareithseparatedfields100.thethanfilewhichAnnlinesinwrittenl 當士兵處于屬于 Ann的區(qū)域的時候，如果這個區(qū)域的某一個后繼區(qū)域能夠是 Ann必勝的話， Ann肯定會讓士兵走向那一個區(qū)域，同樣當士兵處于屬于 Billy的區(qū)域的時候 Billy也會采用相同的策略。由于B集合當中節(jié)點個數是有限的，所以士兵經過的路線上必定會出現一個沒有綠色節(jié)點的環(huán)。能夠從圖中找到 B集合 弗登博格 to