【正文】 期望收益值之和，從而，若某策略使期望收益最大，則該策略必使期望后悔值最小，定理得證。 ???風(fēng)險(xiǎn)型決策也可采用期望后悔值法求解。值得一提的是策略集也可以是無(wú)限集，例如，線(xiàn)性規(guī)劃就可行看成一個(gè)策略集是限集的確定型決策，問(wèn)題要求決策者從可行解集合（策略集）中挑選出最優(yōu)解。 期望值決策 收益（萬(wàn)元） 需求大 N1 需求中 N2 需求小 N3 期望值 概 率（ pi） 大批量（ S1） 500 300 － 250 － 65 中批量（ S2） 300 200 80 126* 小批量（ S3） 200 150 100 120 選擇期望值最大的決策為最優(yōu)決策 中批量的決策為最優(yōu)決策。 不確定決策的幾種準(zhǔn)則： ?悲觀準(zhǔn)則 ?樂(lè)觀準(zhǔn)則 ?等可能性準(zhǔn)則 ?樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則 ?后悔值準(zhǔn)則 悲觀準(zhǔn)則：最壞的情況下?tīng)?zhēng)取最好的結(jié)果 例 1. 某工廠決定投產(chǎn)一種新產(chǎn)品。這一部分工作既具有一定的創(chuàng)造性又在很大程度上影響到結(jié)果，對(duì)它研究也是十分有趣的。 ? ???圖 情況 1求解：容易求得守方的贏得矩陣 1 211 2211 24A?? ????? ?????? ??? ? ? ????? ???? ????????這是一個(gè)有鞍點(diǎn)的矩陣，鞍點(diǎn)為 a22。按常規(guī)做法，在防御正面上一般采用同一種技術(shù)密度。 分析 評(píng)價(jià)防坦克地雷場(chǎng)的重要指標(biāo)是戰(zhàn)斗效力，而布雷密度是基本因素之一。在 Bradleg構(gòu)造的矩陣中容易發(fā)現(xiàn) a1j＜ a3j, j=1,2 故 3優(yōu)于 1?？梢郧蟮? ， ， ，不存在穩(wěn)定解，需要考慮其他解法。這樣，美軍將占領(lǐng)海峽并徹底殲滅德軍第九軍。 雙方應(yīng)如何決策，使自己能有較大的機(jī)會(huì)贏得戰(zhàn)爭(zhēng)的勝利呢？ 我們將用建立矩陣對(duì)策模型的方法，來(lái)試圖求得雙方的最優(yōu)策略。 最后，我們來(lái)考察幾個(gè)對(duì)策問(wèn)題的實(shí)例。 表 B方 A方 1 2 3 1 2 3 4 （ 8,2） （ 3,4） （ 1,6） （ 4,2） （ 0,9） （ 9,0） （ 6,2） （ 4,6） （ 7,3） （ 2,7） （ 8,1） （ 5,1） 假如 A、 B雙方仍采取穩(wěn)妥的辦法， A發(fā)現(xiàn)如采取策略 4，則至少可獲利4，而 B發(fā)現(xiàn)如采取策略 1，則至少可獲利 2。 記 ，由于 ， 在 yk=1， yj=0 （ j≠k）時(shí)達(dá)到最大值 u， m a xKjju E E?1 1njjy???1m a x n jjyjEy?? 故 應(yīng)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 X 1nij iia x u???min u , j=1, 2, …, n (即 Ej≤Ek) 11m iix??xi≥0, i =1,2,…, m 的解。故對(duì)A方選取的最佳概率 x1和 x2，必滿(mǎn)足： ??? ???1 2 1 212 2 81x x x xxx? ? ??? ???即 11 1 21 2 12 1 22 212 1a x a x a x a x? ? ?? ???由此解得 x1=， x2=。一旦戰(zhàn)斗機(jī)未被擊落，它將以 擊毀其選中的轟炸機(jī)。 m a x m inT T TxyX R Y X R Y x R Y??XY定理 （ Von Neumann）任意混合策略對(duì)策問(wèn)題必存在鞍點(diǎn)，即必存在概率向 量和，使得： （證明從略）。此時(shí)，在只使用純策略的范圍內(nèi)，對(duì)策問(wèn)題無(wú)解。然而，在實(shí)際遇到的零和對(duì)策中更典型的是 μ+ν≠0的情況。 ???????? 例： 某單位采購(gòu)員在秋天時(shí)要決定冬天取暖用煤的采購(gòu)量。 證明： （充分性） 由 μ 和 ν 的定義可知，存在一行（例如 p行） μ為 p行中的最小元素且存在一列（例如 q列），－ ν 為 q列中的最大元素。當(dāng) B采取策略 2時(shí)，其損失不會(huì)超過(guò) 2。 在有些兩人對(duì)策的贏得表中， A之所得并非明顯為 B之所失，但雙方贏得數(shù)之和為一常數(shù)。記局中人集合為 I = {1,?, k}，對(duì)每一 i∈ I，有一策略集合 Si，當(dāng) I中每一局中人 i選定策略后得一個(gè)局勢(shì) s；將 s代入贏得函數(shù) F，即得一矢量 F(s) = ( F1(s),?, Fk(s))，其中 Fi(s)為在局勢(shì) s下局中人 i的贏得（或支付）。 例如 ，若一對(duì)策中包含 A、 B兩名局中人，其策略集合分別為SA = { 1,…, m}， SB = { 1,…, n}。對(duì)策問(wèn)題中，對(duì)應(yīng)于每一局中人存在著一個(gè)策略集合，而每一策略集合中至少要有兩個(gè)策略，否則該局中人可從此對(duì)策問(wèn)題中刪去，因?yàn)閷?duì)他來(lái)講，不存在選擇策略的余地。在這類(lèi)模型中，參與對(duì)抗的各方都有一些可供選擇的策略，該模型為對(duì)抗各方提供獲得最優(yōu)對(duì)策的方法 ? 決策分析 – 在決策環(huán)境不確定和風(fēng)險(xiǎn)情況下對(duì)幾種被選方案進(jìn)行決策的準(zhǔn)則和方法 ? 預(yù)測(cè) – 對(duì)未來(lái)的發(fā)展作出的推測(cè)。? 玩撲克牌，比大小 ? 兩組撲克牌，分別是 7和 8 ? 你們先選，然后先出 ? 為什么我是總能贏？ ? 這就是決策，對(duì)策 ? 田忌賽馬 ? 田忌賽馬是大多數(shù)人都熟知的故事，傳說(shuō)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期齊王欲與大將田忌賽馬，雙方約定每人挑選上、中、下三個(gè)等級(jí)的馬各一匹進(jìn)行比賽，每局賭金為一千金。 ? 對(duì)策論（博弈論） – 解決具有對(duì)抗性局勢(shì)的模型。局中人能采取的可行方案稱(chēng)為策略，每一局中人可采取的全部策略稱(chēng)為此局中人的策略集合。當(dāng)對(duì)策問(wèn)題各方都從各自的策略集合中選定了一個(gè)策略后，各方采取的策略全體可用一矢量 S表示，稱(chēng)之為一個(gè)純局勢(shì)（簡(jiǎn)稱(chēng)局勢(shì)）。綜上所述，一個(gè)對(duì)策模型由局中人、策略集合和贏得函數(shù)三部分組成。例如若A有 m種策略， B有 n種策略，贏得矩陣 11 12 121 22 212nnmnm m m na a aa a aRa a a????????????表示若 A選取策略 i而 B選取策略 j，則 A之所得為 aij（當(dāng) aij0時(shí)為支付）。如果 A采取策略 2，無(wú)論 B采取什么策略， A的贏得均不會(huì)少于 2. ? B采取各方案的最大損失為 max {12,14, － 6}=14， max {－ 6,2,0}=2， max {30,18, － 10}=30和 max {－ 22,10,16} =16。 定理 零和對(duì)策 G具有穩(wěn)定解的充要條件為 μ +ν = 0。 一般又可以證明。 具有穩(wěn)定解的零和對(duì)策問(wèn)題是一類(lèi)特別簡(jiǎn)單的對(duì)策問(wèn)題，它所對(duì)應(yīng)的贏得矩陣存在鞍點(diǎn)，任一局中人都不可能通過(guò)自己?jiǎn)畏矫娴呐?lái)改進(jìn)結(jié)果。但此時(shí)若 B改換策略 2，又會(huì)使 A輸?shù)?4， …… 。 定義 若存在 m維概率向量和 n維概率向量，使得對(duì)一切 m維概率向量 X和 n 維概率向量 y有 則稱(chēng)（ , ）為混合策略對(duì)策問(wèn)題的鞍點(diǎn)。若戰(zhàn)斗機(jī)阻擊 I，它將同時(shí)受到兩架轟炸機(jī)的射擊，被擊中的概率為 。若 E（ 1） ≠E（ 2），不妨設(shè) E（ 1） E（ 2），則 B方必采用 1以減少指揮部被轟炸的概率。 ?? ? 零和對(duì)策的解法 ? 矩陣對(duì)策的線(xiàn)性規(guī)劃法 A方選擇混合策略 的目的是使得 Xm in m a xTTX YX RY X RY? 1m in m a x ( )nTjjX YjX R y e?? ?1m in m a xnjjX YjEy??其中 ej為只有第 j個(gè)分量為 1而其余分量均為零的向量， Ej = XTRej。 例 現(xiàn)有一對(duì)策問(wèn)題，雙方獲利情況見(jiàn)表 。怎樣建立一個(gè) “公平 ”的分配原則是一個(gè)較為困難的問(wèn)題，將在第九章中介紹。Bradley將軍有三種可供選擇的策略：他可以命令后備軍原地待命，當(dāng)海峽形勢(shì)危急時(shí)支援第一軍或出擊東部敵人，以減輕第一軍的壓力。如不需增援，后備軍可東進(jìn)繞行到德軍后方。 上述分析估計(jì)是由 Bradley將軍作出的，據(jù)此構(gòu)造出 A方贏得矩陣 12123 113215 66213BA???????????????????????這是一個(gè) 32對(duì)策矩陣。 現(xiàn)在回過(guò)來(lái)討論美、德軍隊(duì)對(duì)策問(wèn)題。 ?? 例 （防坦克地雷場(chǎng)的布設(shè)） 實(shí)戰(zhàn)中，攻方為了增強(qiáng)攻擊力，大量使用攻擊力強(qiáng)、防御堅(jiān)固的坦克；守方為了抵御對(duì)方攻擊，需要大量殺傷敵方的有生力量，有效對(duì)策之一是布設(shè)防坦克地雷場(chǎng)。對(duì)守方來(lái)講，布雷密度通?？煞殖?,1,2等有限個(gè)等級(jí)。守方設(shè)計(jì)了三種布雷方案 1, 2, 3,（圖 ），試求守方的贏得矩陣和最優(yōu)策略。策略的設(shè)計(jì)并沒(méi)有包含在決策問(wèn)題的求解中，事實(shí)上，僅當(dāng)策略設(shè)計(jì)完成后，即策略集合給定后，決策問(wèn)題才被給定，從而才能被求解，因而，在用對(duì)策論方法研究實(shí)際課題時(shí)，應(yīng)當(dāng)特別注意策略的設(shè)計(jì)。 不確定環(huán)境下的決策 決策者面臨的決策環(huán)境由一些自然狀態(tài)組成，決策者可以采取若干決策方案，每一種決策方案在不同的自然狀態(tài)下出現(xiàn)的結(jié)果是已知的，但決策者 不能預(yù)先估計(jì) 各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的 概率 。 決策者 能預(yù)先估計(jì) 決策環(huán)境中各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的 概率 。這種決策問(wèn)題的結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，決策者只需比較各種方案，確定哪一方案最優(yōu)即可。如對(duì)例 1，分別求出方案 1（鉆井）和 2（不鉆井）的期望收益值： ??E（ 1） =（－ 30） +20 + 40 = 16（萬(wàn)元） E（ 2） =0 由于 E（ 1）＞ E（ 2），選取 1作為最佳策略。 ? m a xij k j ijkl a a??? max kjk a定理 最大期望收益法與最小期望后悔值法等價(jià)，即兩者選出的最佳 策略相同。 如遇到陰雨天氣，則維持正常速度，不必支付額外費(fèi)用。 解：由于未來(lái)的天氣狀態(tài)未知，但各種天氣狀況出現(xiàn)的概率已知，本例是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題，所謂的額外費(fèi)用應(yīng)理解為期望值。遇到?jīng)Q策點(diǎn)則比較各方案分枝的效益期望值以決定方案的優(yōu)劣，并且用雙線(xiàn)劃去淘汰掉的方案分枝，在決策點(diǎn)旁標(biāo)上最佳方案的效益期望值，計(jì)算步驟如下： （ 1）在機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn) E、 F處計(jì)算它們的效益期望值 E(E) = （－ 24000）＋ （－ 18000）＋ （－ 12023） =－ 19800 E(F) = （－ 54000）＋ （－ 46000）＋ （－ 38000） =－ 50800 （ 2）在第一級(jí)決策點(diǎn) C、 D處進(jìn)行比較，在 C點(diǎn)處劃去正常速度分枝，在D處劃去應(yīng)急分枝。下面結(jié)合一個(gè)例子，介紹幾種處理這類(lèi)問(wèn)題的方法。 ?（ 3）樂(lè)觀系數(shù)法（ Hurwicz決策準(zhǔn)則） 樂(lè)觀系數(shù)法采用折中的辦法，引入一個(gè)參數(shù) t， 0≤t≤1，稱(chēng) t為樂(lè)觀系數(shù)。事實(shí)上，采取什么方法決策與決策者的心理狀態(tài)有關(guān)。記該商品的進(jìn)貨量為 （決策變量），若 ，進(jìn)貨過(guò)量，每單位進(jìn)貨過(guò)剩將造成 k0元過(guò)量損失；反之，若 ，進(jìn)貨不足，每單位進(jìn)貨不足將造成 ku元的不足損失。 故燒雞的最佳制作量為 28只?，F(xiàn)有三個(gè)廠生產(chǎn)這種配件，牌號(hào)為 A， B， C。接下來(lái)由買(mǎi)者報(bào)價(jià)，每一次都比前次高，最后誰(shuí)出的價(jià)格高拍賣(mài)品即歸誰(shuí)所有。 日本統(tǒng)帥山本五十六大將心里很明白： 在日本艦隊(duì)穿過(guò)俾斯麥海的三天航行中，不可能躲開(kāi)盟軍的空中打擊，他要策劃的是盡可能減少損失。由于氣候惡劣，能見(jiàn)度差，盟軍只能實(shí)施兩天的