【正文】 先引入下面的極大極小原理。當(dāng)對策問題有解時，其解可以不唯一。 局中人 II（環(huán)境）：策略 ?1 較暖 ,策略?2 正常，策略 ?3較冷 現(xiàn)把該單位冬天取暖用煤全部費(fèi)用（秋季購煤費(fèi)用與冬天不夠時再補(bǔ)購煤費(fèi)用）作為采購員的贏得矩陣。但如果局中人 A適當(dāng)改換策略，他可以增加收入。 記 SA: 策略 α1,…, αm SB: 策略 β1,…, βn 概率 x1,…, xm 概率 y1,…, yn 分別稱 SA與 SB為 A方和 B方的混合策略。轟炸機(jī)飛至 B方上空，受到 B方戰(zhàn)斗機(jī)的阻擊。 B采用 1時， A方轟炸機(jī)攻擊指揮部的概率的期望值為 E（ 1） =0。過 x=0和 x=1各作 x軸的垂線，稱之為軸 I和軸 II。根據(jù)市場預(yù)測， A的市場占有率為： B 廣告 ?1 降價 ?2 售后服務(wù) ?3 廣告 ?1 A = 降價 ?2 售后服務(wù) ?3 試確定雙方的最優(yōu)策略。 例 ，總獲利數(shù)并非常數(shù)的對策問題（即不能轉(zhuǎn)化為零和對策的問題），是一類存在著合作基礎(chǔ)的對策問題。 Von Kluge將軍面臨的問題是或者向西進(jìn)攻，加強(qiáng)他的西部防線，切斷美軍援助；或者撤退到東部，占據(jù)塞那河流域的有利地形，并能得到德軍第十五軍的援助。德軍很可能打破美軍第一軍的防線，并切斷美軍的退路。在發(fā)現(xiàn)德軍撤退后，奉命向東擾亂敵方撤退， 為以后殲滅德第九軍創(chuàng)造條件，估計是美軍擊敗德軍的可能性 。 令 ， R’為從 R中劃去第 i1行， … ， ik行后剩下的矩 陣，則 的最優(yōu)策略即原對策 G的最優(yōu)策略，對于 R中 列的最優(yōu)關(guān)系也有類似的結(jié)果。但正當(dāng)?shù)萝姷诰跑妱傞_始東撤時，突然接到了希特勒的命令要他們向西進(jìn)攻，從而失去了他們有可能取得的最佳結(jié)局，走上必然滅亡的道路。 由于每兩輛坦克之間一般要保持 50米的間距，因而進(jìn)攻正面拉得很寬，如一個梯隊 20輛坦克，進(jìn)攻正面約為一公里寬。為便于理解，作為實(shí)例分析下面兩種情況： 情況 1 設(shè)守方只有 1500個防坦克地雷，欲布設(shè)在攻方必經(jīng)的 2公里攻擊正面上。可以求得，此時守方如按照 :: 1, 2, 3布雷，平均可毀傷對方 %的坦克。狀態(tài)是客觀存在的，是不可控因素。 收益（萬元） 需求大 N1 需求中N2 需求小N3 期望值 最大 期望值 概 率（ pi） 1/3 1/3 1/3 大批量（ S1） 500 300 － 250 中批量（ S2） 300 200 80 * 小批量（ S3） 200 150 100 等可能性準(zhǔn)則： 假設(shè)等可能性條件下，期望值最大 按照這個準(zhǔn)則，最優(yōu)決策是中批量生產(chǎn) 樂觀系數(shù)準(zhǔn)則：樂觀系數(shù) α（ 0≤α≤1 ） )N,S(min)1()N,S(maxCV jijjiji ?????收益（萬元） 需求大 N1 需求中 N2 需求小 N3 CVi 大批量（ S1） 500 300 － 250 275* 中批量（ S2） 300 200 80 234 小批量（ S3） 200 150 100 170 對于 α＝ （ 1－ α ）＝ 最優(yōu)決策為大批量生產(chǎn) CV1＝ (500,300,250)+(500,300,250)=35075=275 CV2=(300,200,80)+(300,200,80)=210+24=234 CV3=(200,150,100)+(200,150,100)=140+30=170 對于 α＝ （ 1－ α ）＝ 收益（萬元） 需求大 N1 需求中 N2 需求小 N3 CVi 大批量（ S1） 500 300 － 250 125 中批量（ S2） 300 200 80 190* 小批量（ S3） 200 150 100 150 最優(yōu)決策為中批量生產(chǎn) CV1＝ (500,300,250)+(500,300,250)=250125=125 CV2=(300,200,80)+(300,200,80)=150+40=190 CV3=(200,150,100)+(200,150,100)=100+50=150 對于 α＝ （ 1－ α ）＝ 收益（萬元） 需求大 N1 需求中 N2 需求小 N3 CVi 大批量（ S1） 500 300 － 250 － 25 中批量（ S2） 300 200 80 146* 小批量（ S3） 200 150 100 130 最優(yōu)決策為中批量生產(chǎn) CV1＝ (500,300,250)+(500,300,250)=150175=25 CV2=(300,200,80)+(300,200,80)=90+56=146 CV3=(200,150,100)+(200,150,100)=60+70=130 后悔值準(zhǔn)則： 以最大后悔值中的最小的為最優(yōu)決策 收益（萬元） 需求大 N1 需求中 N2 需求小 N3 大批量（ S1） 500 300 － 250 中批量（ S2） 300 200 80 小批量（ S3） 200 150 100 Max(Si,Nj) 500 300 100 收益（萬元） 需求大 N1 需求中 N2 需求小 N3 Max(Si,Nj) 大批量（ S1） 0 0 350 350 中批量（ S2） 200 100 20 200* 小批量（ S3） 300 150 0 300 后悔值矩陣 風(fēng)險型決策 最大可能決策 收益（萬元） 需求大 N1 需求中 N2 需求小 N3 概 率（ pi） 大批量（ S1） 500 300 － 250 中批量（ S2） 300 200 80 小批量（ S3） 200 150 100* 100 最大可能為需求小，按最大可能考慮，應(yīng)采用小批量生產(chǎn)。 ???決策問題按自然狀態(tài)的不同情況，常被分為三種類型：確定型、風(fēng)險型（或隨機(jī)型）和不確定型。例如，例 。在例 ，如采用期望后悔值法，則 E（ 1）=6， E（ 2） =22，取 1為最佳策略。對于可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案： （ 1）提前緊急加班，在 15天內(nèi)完成工程，實(shí)施此方案需增加開支 18000元。實(shí)施此應(yīng)急措施也有三種可能結(jié)果：有 70%可能減少誤工期 2天，支付應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共 54000元；有 20%可能減少誤工期 3天，支付應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共 46000元；有10%可能減少誤工期 4天，支付應(yīng)急費(fèi)和誤工費(fèi)共 38000元?！鞣Q為未梢節(jié)點(diǎn)，右邊的數(shù)字表示相應(yīng)的收益值或損失值。實(shí)際應(yīng)用時應(yīng)根據(jù)具體情況作出分析，選取期望收益最大或期望損失最小的方案。對于例 ， min a1j = 4， min a2j = 3， min a3j = 1， min a4j = 3。對于例 ，如取各狀態(tài)出現(xiàn)的概率均為 ，用期望值法決策，將選取策略 2。要作出較符合實(shí)際情況的決策，還需決策者多作些調(diào)查研究，以便對未來自然狀態(tài)的出現(xiàn)作出較符合客觀實(shí)際的預(yù)測，才能收到較好的效果。 表 概率 P( ) 30 29 28 27 26 25 需求量 ?解：根據(jù)題意，單位過剩損失 k0=，單位不足損失 ku = 5， 。為了不至于把錢輸光，投資者采取如下的策略：每次總是將資本的一半去投資。問題是如何合理分?jǐn)傎M(fèi)用，使合作建立 大水廠的方案得以實(shí)現(xiàn)。為扭轉(zhuǎn)局勢，日本統(tǒng)帥山本五十六大將統(tǒng)率下的一支艦隊策劃了一次軍事行動：由集結(jié)地 —— 南太平洋的新不列顛群島的蠟包爾出發(fā)，穿過俾斯麥海，開往新幾內(nèi)亞的萊城，支援困守在那里的日軍。 肯尼將軍的轟炸機(jī)布置在南線的機(jī)場，偵察機(jī)全天候進(jìn)行偵察 ， 但有一定的搜索半徑 。此時日本艦隊迅速被發(fā)現(xiàn)，盟軍的轟炸機(jī)群所需航程很短，加上天氣晴好，有效轟炸時間三天。由于發(fā)現(xiàn)晚，盡管盟軍的轟炸機(jī)群在南線，但有效轟炸也只有兩天。 自然條件對于雙方 都是已知的。問題是，各買主之間可能知道他人的估價，也可能不知道他人的估價，每人應(yīng)如何報價對自己能以較低的價格得到拍賣品最為有利？ 4（囚犯難題）設(shè)有兩個嫌疑犯被警察拘留，警察分別對兩人進(jìn)行審訊。各城市都想建立自來水廠解決用水問題。投資 1元，如果成功可以得到 ，即資本成為。 ??????解：當(dāng) ≥ 時，將有過量損失 k0（ － ）；當(dāng) 時，將有不足損失 ku（ － ）。例如，在決定購買幾元錢一張的對獎券時，決策者也許會采用樂觀法。在例 ，若取 t=，采用樂觀系數(shù)法決策，將選取 方案 2。有四種可供選擇的行動方案，相應(yīng)的收益值見表 表 6 6 6 5 3 4 1 5 9 6 4 3 8 7 5 4 3 2 6 6 5 4 4 1 5 4 3 2 1 自然狀態(tài) 方案 ?????? ? （ 1）樂觀法（ max max原則） 采用樂觀法時，決策者意在追求最大可能收益。 （ 4）在第二級決策點(diǎn) A處進(jìn)行方案比較，劃去提前緊急加班，將－ 14900標(biāo)在 A點(diǎn)旁。如按正常速度施工，則 15天后還需根據(jù)天氣狀況再作一次決策，以決定是否采取應(yīng)急措施，故本例為多階段（兩階段）決策問題。（ ii）采取應(yīng)急措施。 ? 對于較為復(fù)雜的決策問題，尤其是需要作多階段決策的問題，常采用較直觀的決策樹方法，但從本質(zhì)上講，決策樹方法仍然是一種期望值法。首先，求出采取方案 i而出現(xiàn)狀態(tài) j時的后悔值 。確定型決策的求解并非全是簡單的，但由于這些問題一般均有其自己的專門算法，本節(jié)不準(zhǔn)備再作介紹。 例 在開采石油時，會遇到是否在某處鉆井的問題。投產(chǎn)以后銷售情況有好、中等、差三種可能，但廠家目前無法估計這三種情況出現(xiàn)的概率。 167。守方只要按 2方案布雷，則不管攻方從哪一側(cè)進(jìn)攻，總可毀傷對方 %的坦克。為了提高殺傷率，現(xiàn)將一個防御正面劃分成幾段，各段允許采用不同密度。只要有足夠多的地雷，用較高密度的地雷場對付敵方進(jìn)攻總是行之有效的。 根據(jù)上面的定理 ，可劃去該矩陣的第一行，得到 22贏得矩陣 ??1223 1566213????????????????這仍然是一個無鞍點(diǎn)的對策矩陣。 16?? 56? ?? 0???? 定義 對于贏得矩陣 R，如果對所有 j， aij≥akj均成立，且至少存在一個 使 得 則稱 i行優(yōu)于 k行（策略 ai優(yōu)于 ak）。 ??情況（ 1）、（ 2）、（ 3）如圖 （ 1）、（ 2）、（ 3）所示。模型假設(shè)： Bradley將軍和 Von Kluge將軍分別為對策問題的局中人 A和 B。 例 （戰(zhàn)例分析） 1944年 8月，美軍第一軍和英軍占領(lǐng)法國諾曼第不久，立即從海防前線穿過海峽，向 Avranches進(jìn)軍。因而，這種求穩(wěn)妥的想法將導(dǎo)至出現(xiàn)局勢（ 4， 2）。 同理， 應(yīng)為線性規(guī)劃 Y 1nij ii ay ?? ??max ν , i=1, 2, …, m 11n ijy??yj≥0, i =1,2,…, n 的解。 同樣，可從 A方考慮問題，得 1 2 1 212 1y y y yyy? ? ??????即 1 12 2 21 1 22 212 1na y a y a y a yyy? ? ??????并解得 y1=， y2=。請為 A、 B雙方各選擇一個最優(yōu)策略，即：對于