高二數(shù)學(xué)圓錐曲線的綜合應(yīng)用(更新版)
【正文】 ＋ PM取得最小值時的 P點坐標(biāo) 解：容易判斷點 M(2,1)在拋物線內(nèi)部，過點 P向拋物線的準(zhǔn)線 x=1作垂線，垂足為 Q，由拋物線的定義知 PQ=PF，則 PF+PM=PQ+PM，只要 Q、P、 M三點共線， PF+PM就取得最小值，所以 所求 P點坐標(biāo)為 1,14??????【 例 2】 一動圓 C與定圓 A： x2＋ y2－ 6x－91＝ 0相切，且圓 C過點 B(－ 3,0)，求動圓圓心 C的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線． 題型二 有關(guān)動點的軌跡和軌跡方程的求解問題 分析：根據(jù)題意判斷兩圓相內(nèi)切還是外切，再利用兩圓相切的充要條件建立等式，根據(jù)定義法確定曲線的類型，并寫出曲線方程． 解：設(shè)動圓圓心為 C(x， y)，半徑為 r，將圓 A的方程配方得： (x3)2+y2=100，由于點 B(3,0)在圓 A的內(nèi)部，故動圓 C與定圓 A內(nèi)切，且動圓 C在定圓 A的內(nèi)部，所以 CA=10r， CB=r，兩式的兩邊分別相加，得CA+CB=10，由橢圓定義知點 C的軌跡是焦點為A(3,0)、 B(3,0)，長軸長等于 10的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在 x軸上， ∴ 2c=6,2a=10，∴ c=3， a=5， ∴ b2=259=16， ∴ 圓心 C軌跡方程為 + =1，軌跡是橢 圓． 225x 216y變式 2－ 1 例 2中的問題若改為：已知點 P在定圓 O的圓內(nèi)或圓上，動圓 C過點 P且與定圓 O相切，討論動圓 C的圓心的軌跡形狀，情況怎樣呢？ 解： 由于點 P的位置不同，動圓 C的圓心會有不同的軌跡形狀，所以要分幾種情況討論．設(shè)定圓 O的半徑為 R，動圓 C的半徑為 r.① 若點 P與 O重合 (如圖 1)，動圓 C的圓心的軌跡是以 O為圓心， R為半徑的圓； ②若點 P在圓 O內(nèi)且與 O不重合 (如圖 2)，則CP=r， CO=Rr，所以 CP+CO=ROP，所以動圓 C的圓心的軌跡是以 O、 P為焦點， R為長軸長的橢圓； ③若點 P在圓 O上 (如圖 3)，則動圓 C的圓心的軌跡是直線 OP(除去點 O和點 P)． 12圖 1 圖 2 圖 3 【 例 3】 (2020 ≤t+ ， 設(shè) t=cos ， ∈ (0， )，則 t+ =cos + sin =2sin( + ) 當(dāng) q= ，即 t= ，且 x=0時， y取最大值2. 2231 tx? ? ? ?231 t? ? ?3123?231 t? ? ? 6???????
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