高二數(shù)學(xué)橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程(更新版)
【正文】 AB 不垂直于 x 軸， △ AF1B 的周長(zhǎng)仍為20 不變，因?yàn)?| AF1|＋ | BF1|＋ | AB |＝ | AF1|＋ | BF1| ＋| AF2|＋ | BF2|＝ (| AF1|＋ | AF2|) ＋ (| BF1|＋ | BF2|) ＝ 4 a ，與直線 AB 是否與 x 軸垂直無關(guān) ． 用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義，若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可． 利用橢圓的定義求軌跡方程 已知?jiǎng)訄A M 過定點(diǎn) A ( － 3, 0) ，并且內(nèi)切于定圓 B ： ( x － 3)2＋ y2＝ 64 ，求動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程 ． 例 3 【思路點(diǎn)撥】 確定 M 與 A ， B 的關(guān)系 ―― →圓的性質(zhì) | MA |＋ | MB |＝ 8 ―― →坐標(biāo)化 方程 【解】 設(shè)動(dòng)圓 M 的半徑為 r，則 | MA |＝ r， | MB |＝ 8 － r ， ∴ | MA |＋ | MB |＝ 8 ，且 8| AB |＝ 6 ， ∴ 動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是橢圓，且焦點(diǎn)分別是 A ( － 3, 0 ) ，B ( 3, 0) ，且 2 a ＝ 8 ， ∴ a ＝ 4 ， c ＝ 3 ， ∴ b2＝ a2－ c2＝ 16 － 9 ＝ 7. ∴ 所求動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程是x216＋y27＝ 1. 【 名師點(diǎn)評(píng) 】 (1)本例用定義法求軌跡方程 ． (2)巧妙地應(yīng)用幾何知識(shí) (兩圓內(nèi)切時(shí)圓心距與半徑之間的關(guān)系 )， 尋求到 |MA|＋ |MB|＝ 8， 而且 8|AB|＝ 6， 從而判斷動(dòng)點(diǎn) M的軌跡是橢圓 ． 1．橢圓的定義中只有當(dāng)兩定點(diǎn)間的距離之和2a|F1F2|時(shí)，軌跡才是橢圓； 2a＝ |F1F2|時(shí)，軌跡是線段 F1F2； 2a|F1F2|時(shí)沒有軌跡． 2．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)應(yīng)注意的問題 (1)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位”和“定量”兩個(gè)方面．“定位”是指確定橢圓與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，即在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；“定量”則是指確定 a b2的具體數(shù)值，常用待定系數(shù)法． 方法感悟 ( 2) 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確 ( 無法確定 ) 求其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可設(shè)方程為x2m＋y2n＝ 1( m ＞ 0 ， n ＞ 0 且m ≠ n ) ，從而避免討論和繁雜的計(jì)算；也可設(shè)為Ax2＋ By2＝ 1( A ＞ 0 ， B ＞ 0 且 A ≠ B ) ，這種形式在解題中較為方便 ．
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