高二數(shù)學(xué)橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 ( 1) 當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的中心在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上時(shí)，橢圓的方程才具有標(biāo)準(zhǔn)形式 ． 焦點(diǎn)在 x 軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2＋y2b2＝ 1( a b 0) ；焦點(diǎn)在y 軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2＋x2b2＝ 1( a b 0) ． 在這兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有 a b 0 ，焦點(diǎn)所在軸與 a2的分子相對(duì)應(yīng) ． 方程中的參數(shù) a ， b ， c 是橢圓所固有的，與坐標(biāo)系的建立無(wú)關(guān)，且始終滿(mǎn)足關(guān)系式 a2＝ b2＋ c2. ( 2) 用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程步驟如下： ① 作判斷：依據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上還是在 y 軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能 ． ② 設(shè)方程： ( ⅰ ) 依據(jù)上述判斷，設(shè)方程為x2a2＋y2b2＝ 1( a b 0 ) 或x2b2＋y2a2＝ 1( a b 0 ) ． ( ⅱ ) 在不能確定焦點(diǎn)位置的情況下也可設(shè) mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 且 m ≠ n ) ． ③ 找關(guān)系：依據(jù)已知條件，建立關(guān)于 a ， b ， c 或 m ，n 的方程組 ． ④ 得方程：解方程組，代入所設(shè)方程即為所求 ． 自我挑戰(zhàn) 1 根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． ( 1) 坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，并且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) A ( 0, 2 ) 和 B (12，3 ) ； ( 2) 經(jīng)過(guò)點(diǎn) (2 ，－ 3) 且與橢圓 9 x2＋ 4 y2＝ 36 有共同的焦點(diǎn) ． 解： ( 1) 設(shè)所求橢圓的方程為x2m＋y2n＝ 1( m ＞ 0 ， n ＞ 0且 m ≠ n ) ． ∵ 橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) A ( 0 , 2) 、 B (12， 3 ) ， ∴??? 0m＋4n＝ 1 ，14 m＋3n＝ 1 ，解得????? m ＝ 1 ，n ＝ 4. ∴ 所求橢圓方程為 x2＋y24＝ 1. ( 2) ∵ 橢圓 9 x2＋ 4 y2＝ 36 的焦點(diǎn)為 (0 ， 177。| PF2|及余弦定理求出 |PF1| ， 求△ PF1F2的面積 ． 【 思路點(diǎn)撥 】 求得標(biāo)準(zhǔn)方程后 ， 借助定義利用余弦定理求值 ． 【解】 ( 1) 由題設(shè)得 2| F1F2|＝ |PF1|＋ | PF2|， ∴ 2 a ＝ 4 ，又 2 c ＝ 2 ， ∴ b ＝ 3 ， ∴ 橢圓的方 程為x
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