【正文】 但漸近線(xiàn)斜率為177。n= ②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例2】 如圖所示，拋物線(xiàn)y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線(xiàn)l與線(xiàn)段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線(xiàn)l的方程，并求△AMN的最大面積.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0……………①∵直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1(1) 已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0 )并且x0y0≠0，試求直線(xiàn)AB方程；(2) 若橢圓的短軸長(zhǎng)為8，并且，求橢圓C的方程；(3) 橢圓C上是否存在點(diǎn)P，由P向圓O所引兩條切線(xiàn)互相垂直？若存在，請(qǐng)求出存在的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。c+h)y=177。準(zhǔn)線(xiàn)垂直于長(zhǎng)軸，且在橢圓外.x=177。B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a)O(0,0)軸對(duì)稱(chēng)軸x=0,y=0長(zhǎng)軸長(zhǎng)：2a短軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱(chēng)軸x=0,y=0實(shí)軸長(zhǎng)：2a 虛軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱(chēng)軸y=焦 點(diǎn)F1(c,0),F2(c,0)焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上F1(c,0),F2(c,0)焦點(diǎn)在實(shí)軸上F(，0)焦點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸上焦 距｜F1F2｜=2c，c=｜F1F2｜=2c,c=準(zhǔn) 線(xiàn)x=177。+kx=hy=k=1(h,177。故可設(shè)直線(xiàn)，，，則，， 所以所求的橢圓方程為：【例4】 如圖，已知△P1OP2的面積為，P為線(xiàn)段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線(xiàn)OPOP2為漸近線(xiàn)且過(guò)點(diǎn)P的離心率為的雙曲線(xiàn)方程.解：以O(shè)為原點(diǎn)，∠P1OP2的角平分線(xiàn)為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)雙曲線(xiàn)方程為=1(a＞0,b＞0)由e2=，得.∴兩漸近線(xiàn)OPOP2方程分別為y=x和y=－x設(shè)點(diǎn)P1(x1, x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),則由點(diǎn)P分所成的比λ==2,得P點(diǎn)坐標(biāo)為(),又點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)=1上，所以=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①即x1x2= ②由①、②得a2=4,b2=9故雙曲線(xiàn)方程為=1.【例5】 過(guò)橢圓C：上一動(dòng)點(diǎn)P引圓O：x2 +y2 =b2的兩條切線(xiàn)PA、PB，A、B為切點(diǎn)，直線(xiàn)AB與x軸，y軸分別交于M、N兩點(diǎn)。5)的橢圓被直線(xiàn)3x－y－2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為( )二、填空題3．直線(xiàn)l的方程為y=x+3,在l上任取一點(diǎn)P，若過(guò)點(diǎn)P且以雙曲線(xiàn)12x2－4y2=3的焦點(diǎn)作橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長(zhǎng)軸的橢圓方程為_(kāi)________.4．已知圓過(guò)點(diǎn)P(4，－2)、Q(－1，3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4，則該圓的方程為_(kāi)________.三、解答題5．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F，M是橢圓上的任意點(diǎn)，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程.6．某拋物線(xiàn)形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長(zhǎng)的支柱的長(zhǎng).7．已知圓C1的方程為(x－2)2+(y－1)2=,橢圓C2的方程為=1(a＞b＞0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB恰為圓C1的直徑，求直線(xiàn)AB的方程和橢圓C2的方程.參考答案一、：將直線(xiàn)方程變?yōu)閤=3－2y,代入圓的方程x2+y2+x－6y+m=0,得(3－2y)2+y2+(3－2y)+m=0.整理得5y2－20y+12+m=0,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2)則y1y2=,y1+y2=4.又∵P、Q在直線(xiàn)x=3－2y上，∴x1x2=(3－2y1)(3－2y2)=4y1y2－6(y1+y2)+9故y1y2+x1x2=5y1y2－6(y1+y2)+9=m－3=0，故m=3.答案：A：由題意，可設(shè)橢圓方程為： =1,且a2=50+b2,即方程為=1.將直線(xiàn)3x－y－2=0代入，整理成關(guān)于x的二次方程.由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C二、：所求橢圓的焦點(diǎn)為F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|.欲使2a最小，|PF1|+|PF2|最小，利用對(duì)稱(chēng)性可解.答案： =1：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2+(y－b)2=r2則有 由此可寫(xiě)所求圓的方程.答案：x2+y2－2x－12=0或x2+y2－10x－8y+4=0三、：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,則(a+c)(a－c)=a2－c2=b2,∴b2=4,設(shè)橢圓方程為 ①設(shè)過(guò)M1和M2的直線(xiàn)方程為y=－x+m ②將②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0 ③設(shè)M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點(diǎn)為(x0,y0),則x0= (x1+x2)=,y0=－x0+m=.代入y=x,得,由于a2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為： =1.：以拱頂為原點(diǎn)，水平線(xiàn)為x軸，建立坐標(biāo)系，如圖，由題意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐標(biāo)分別為(－10，－4）、(10，－4）設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2=－2py,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得100=－2p(－4),解得p=,于是拋物線(xiàn)方程為x2=－25y.由題意知E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－4)，E′點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2，將2代入得y=－,從而|EE′|=(－)－(－4)=.：由e=,可設(shè)橢圓方程為=1,又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,兩式相減，得=0,即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.化簡(jiǎn)得=－1,故直線(xiàn)AB的方程為y=－x+3,代入橢圓方程得3x2－12x+18－2b2=0.有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=,得，解得b2=8.故所求橢圓方程為=1.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開(kāi)考生“檔次”，有利于選拔的功能.，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.：涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線(xiàn)的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例1】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線(xiàn)y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,將m+n=2,代入得m,故當(dāng)k＜－或－＜k＜或＜k＜時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).③當(dāng)Δ＜0，即k＞時(shí)，方程(*)無(wú)解，l與C無(wú)交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=177。(5+m)(5+m)≤2()3=128.∴S△≤8,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5+m,即m=－1時(shí)取等號(hào).故直線(xiàn)l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.【例11】 已知雙曲線(xiàn)C：2x2－y2=2與點(diǎn)P(1，2)。解：（1）∵ ∴=0∴ 得∴P點(diǎn)的軌跡方程為（2）考慮方程組 消去y，得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3=0(*)顯然1－3k2≠0 △=（6km）2－4(－3m2－3)=12(m2+1)－3k20設(shè)x1,x2為方程*的兩根，則 故AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)∴線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為：將D(0，－1)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得：4m=3k2－1故m、k滿(mǎn)足，消去k2得：m2－4m0解得：m0或m4又∵4m=3k2－1－1 ∴m－故m.【直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)練習(xí)】一、選擇題1．斜率為1的直線(xiàn)l與橢圓+y2=1相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( ) B. C. D. 2．拋物線(xiàn)y=ax2與直線(xiàn)y=kx+b(k≠0)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則恒有( )=x1+x2 =x1x3+x2x3+x2+x3=0 +x2x3+x3x1=0二、填空題3．已知兩點(diǎn)M(1，)、N(－4，－)，給出下列曲線(xiàn)方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|MP|=|NP|的所有曲線(xiàn)方程是_________.4．正方形ABCD的邊AB在直線(xiàn)y=x+4上，C、D兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)y2=x上，則正方形ABCD的面積為_(kāi)________.5．在拋物線(xiàn)y2=16x內(nèi)，通過(guò)點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線(xiàn)的方程是_________.三、解答題6．已知拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|≤2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值.7．已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)AA2在x軸上，離心率e=的雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P(6，6).(1)求雙曲線(xiàn)方程.(2)動(dòng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)△A1PA2的重心G，與雙曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn)：是否存在直線(xiàn)l,使G平分線(xiàn)段MN，證明你的結(jié)論.8．已知雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)都過(guò)原點(diǎn)，且都以點(diǎn)A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)A1與A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).(1)求雙曲線(xiàn)C的方程.(2)設(shè)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A，斜率為k,當(dāng)0＜k＜1時(shí)，雙曲線(xiàn)C的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線(xiàn)l的距離為，試求k的值及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo).直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)參考答案一、：弦長(zhǎng)|AB|=≤.答案：C：解方程組,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,代入驗(yàn)證即可.答案：B二、：點(diǎn)P在線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)上，判斷MN的垂直平分線(xiàn)于所給曲線(xiàn)是否存在交點(diǎn).答案：②③④：設(shè)C、D所在直線(xiàn)方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長(zhǎng)公式可求出|CD|的長(zhǎng)，利用|CD|的長(zhǎng)等于兩平行直線(xiàn)y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|的長(zhǎng).答案：18或50：設(shè)所求直線(xiàn)與y2=16x相交于點(diǎn)A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線(xiàn)方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).即kAB=8.故所求直線(xiàn)方程為y=8x－15.答案：8x－y－15=0三、：(1)設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=x－a,代入拋物線(xiàn)方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,∴a≤－.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點(diǎn) C(x,y),由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,則有x==p.∴線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程為y－p=－(x－a－p),從而N點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2p,0）點(diǎn)N到AB的距離為從而S△NAB=當(dāng)a有最大值－時(shí)，S有最大值為p2.：(1)如圖，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為=,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線(xiàn)方程為=1.(2)P、AA2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線(xiàn)l，使G(2，2)平分線(xiàn)段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2).則有，∴kl=∴l(xiāng)的方程為y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0.∵Δ=16－428＜0,∴所求直線(xiàn)l不存在.：(1)設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=kx,由d==1,解得k=177。時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)(ⅱ)當(dāng)2－k2≠0,即k≠1