深入淺出的講解傅里葉變換(更新版)
【正文】 這個(gè)字還沒(méi)有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會(huì)說(shuō)嗎？） 時(shí)域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個(gè)角頻率為的正弦波cos（t）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是?！ ∵€是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個(gè)角度來(lái)看看： 在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來(lái)越接近矩形波的那個(gè)圖形。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換（Fourier Transformation），我們從簡(jiǎn)單的開(kāi)始談起。上圖是音樂(lè)在時(shí)域的樣子，而下圖則是音樂(lè)在頻域的樣子。無(wú)論如何，耐下心，讀下去。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來(lái)太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來(lái)就懵圈并從此對(duì)它深惡痛絕。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會(huì)到通過(guò)傅里葉分析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為，世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來(lái)?！ ⒁陨蟽蓤D簡(jiǎn)化： 時(shí)域： 頻域： 在時(shí)域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng)，就如同一支股票的走勢(shì)；而在頻域，只有那一個(gè)永恒的音符。但是看看下圖： 第一幅圖是一個(gè)郁悶的正弦波cos（x） 第二幅圖是2個(gè)賣萌的正弦波的疊加cos（x）+（3x） 第三幅圖是4個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加 第四幅圖是10個(gè)便秘的正弦波的疊加 隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng)，他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形，大家從中體會(huì)到了什么道理？ ?。ㄖ灰?，彎的都能掰直?。 ‰S著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每?jī)蓚€(gè)正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為0的正弦波！也就是說(shuō)，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。 正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影，而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。我的文章題目是，如果看了這篇文章你“還”不懂就過(guò)來(lái)掐死我，潛臺(tái)詞就是在你學(xué)了，但是沒(méi)學(xué)明白的情況下看了還是不懂，才過(guò)來(lái)掐死我。無(wú)論聽(tīng)廣播還是看電視，我們一定對(duì)一個(gè)詞不陌生——頻道?！ ∷院芏嘣跁r(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?，大學(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒(méi)有。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來(lái)表示。” 注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。 歐拉公式，以及指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，我們下一講再講。
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