【正文】 .4 異面直線的距離此類題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法，考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.例4已知三棱錐，底面是邊長為的正三角形，棱的長為2，求CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進一步轉(zhuǎn)化成求點到平面的距離.解答過程： 如圖所示，取BD的中點F，連結(jié)EF，SF，CF，為的中位線，∥∥面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點C到平面的距離，設(shè)其為h，由題意知，,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點，在Rt中，在Rt中，又由于，即，解得故CD與SE間的距離為.小結(jié)：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程.5利用空間向量求空間距離和角眾所周知，不僅會降低題目的難度，而且使得作題具有很強的操作性.例5．如圖，已知是棱長為的正方體，點在上，點在上，且．（1）求證：四點共面； （2）若點在上，點在上，垂足為，求證：平面； （3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求．命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識和基本運算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力． 過程指引：解法一：（1） 如圖，在上取點，使，連結(jié)，則，．因為，所以四邊形，都為平行四邊形．從而，．又因為，所以，故四邊形是平行四邊形，由此推知，從而．因此，四點共面．（2）如圖，又，所以，．因為，所以為平行四邊形，從而．又平面，所以平面．（3）如圖，連結(jié)．因為，所以平面，得．于是是所求的二面角的平面角，即．因為，所以， ．解法二：（1）建立如圖所示的坐標系，則，所以，故，共面．又它們有公共點，所以四點共面．（2）如圖，設(shè)，則，而，由題設(shè)得，得．因為，有，又，所以，從而，．故平面．（3）設(shè)向量截面，于是，．而，得，解得，所以．又平面，所以和的夾角等于或（為銳角）．于是．故．考點二：三視圖問題例6． 某幾何體的三視圖如圖所示，P是正方形ABCD對角線的交點，G是PB的中點?！鄋=（1，1，1）設(shè)面PBC的法向量為）∴令∴m=（1，－1，－1）。解：（Ⅰ）取線段EF的中點H，連結(jié)，因為=及H是EF的中點，所以,又因為平面平面.如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz則（2，2，），C（10，8，0），F(xiàn)（4，0，0），D（10，0，0）.故=（2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個法向量，所以 取，則?！窘馕觥浚á瘢┮驗槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因為AB是圓O直徑，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。BC=AC=2，AA1=4，D為棱CC1上的一動點，M、N分別為△ABD、△A1B1D的重心. （Ⅰ）求證：MN⊥AB； （Ⅱ）若二面角C—AB—D的正切值為，求二半平面ABD、A1B1D所成銳二面角的余弦值； （Ⅲ）若點C1在平面A1B1D上的射影正好為N，試判斷C在平面ABD上的射影是否為M？并說明理由.．解：（I）以C1為原點，C1A1為x軸，C1B1為y軸，C1C為z軸建立坐標系. 設(shè)C1D=a(0≤a≤4)，由題意有 C1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（0，2，0），C（0，0，4），A（2，0，4）B（0，2，4），D（0，0，a）.………………………………………………1分∵M、N分別為△ABD，△A1B1D的重心，（注：也可以不用向量證法） （II）平面ABC法向量=（0，0，1），設(shè)平面ABD的法向量=（x1，y1，z1），則 設(shè)二面角C—AB—D的大小為θ，則由，解得a=2，（a=6舍去），∴=（－1，－1，1）.……………………………………7分設(shè)平面A1B1D的法向量∴半平面ABD，A1B1D所成銳二面角的余弦值為：.（III）若點C1在平面A1B1D上的射影正好為N，則 解得a=2（a=－2 舍去）. ∵D為CC1的中點，根據(jù)對稱性知C在平面ABD上的射影正好為M.……12分23