【正文】 PQ分解法和牛頓法一樣都可以達(dá)到很高的精確度。歸結(jié)起來(lái)，這兩組方程式和牛頓法修正方程式(240)或式(254)相比，有以下3個(gè)持點(diǎn)：(1)式(275)、式(276)用兩個(gè)n階線性方程組代替了一個(gè)2n階線性方程組。眾所周知，一般線路兩端電壓的相角差是不大的(通常不超過(guò))，因此可以認(rèn)為此外，與系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)無(wú)功功率相應(yīng)的導(dǎo)納必定遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于該節(jié)點(diǎn)自導(dǎo)納的虛部，即因此考慮到以上關(guān)系后，式(267)中系數(shù)矩陣中的元素表示式可以從式(241)、式(242)、式(248)、式(249)簡(jiǎn)化為這樣，式（267）中系數(shù)矩陣可以表示為將式（272）代入式（267）中，并利用矩陣乘法結(jié)合律，可以吧修正方程式變?yōu)榧皩⒁陨蟽墒降淖笥覂啥擞靡幌戮仃囎蟪耍壕涂傻玫郊耙陨蟽墒骄褪荘Q分解法的修正方程式，其中系數(shù)矩陣只不過(guò)是系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣的虛部，因而是對(duì)稱矩陣．而且在迭代過(guò)程中維持不變。各節(jié)點(diǎn)電壓向量的計(jì)算結(jié)果見表25。為此，可以采用兩種排列方法：一種是把各節(jié)點(diǎn)的方程式與方程式對(duì)調(diào)，即對(duì)調(diào)上式中奇數(shù)行和偶數(shù)行的位置；另一種方法是把各節(jié)點(diǎn)待求量對(duì)調(diào)，即對(duì)調(diào)上式中雅可比矩陣的奇數(shù)列和偶數(shù)列?！?1】利用牛頓法計(jì)算圖26所示系統(tǒng)的潮流分布圖25 牛頓法潮流程序原理圖圖26 簡(jiǎn)單模型系統(tǒng) 【解】按照?qǐng)D25所示牛頓法潮流程序原理框圖進(jìn)行汁算。為了使消去過(guò)程中新增加的非零元素最少，在正式計(jì)算之前，應(yīng)對(duì)節(jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行優(yōu)化()。從對(duì)角元素的達(dá)式(262)也可以看出，其中除了節(jié)點(diǎn)i注入電流分量以外，也只有導(dǎo)納矩陣中對(duì)角元素，與該點(diǎn)電壓分量乘加運(yùn)算而得到的結(jié)果。 20世紀(jì)60年代中期，人們對(duì)牛頓法修正方程式的稀疏性進(jìn)行了深入研究，在求解線性方程式的過(guò)程中充分利用了稀疏線性方程的特點(diǎn)，避免了對(duì)雅可比矩陣中大量零元素的貯存和運(yùn)算，這樣就大大節(jié)約了內(nèi)存單元并且顯著地減少了運(yùn)算量，從而提高了計(jì)算速度。在圖23中，我們采用的收斂條件是式中：表示向量中最大分量的絕對(duì)值。牛頓法的收斂性比較好，一般潮流計(jì)算通常迭代6~7次就能收斂到非常精確的解，而且迭代次數(shù)與電力系統(tǒng)規(guī)模關(guān)系不大。(4)解修正方程式(254)，求修正量、。日前廣泛采用的PQ分解法是從極坐標(biāo)系統(tǒng)牛頓法潮流程序演化而來(lái)的。文獻(xiàn)[13]則建議采用部分更新雅可比矩陣元素以減少運(yùn)算量。由于系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)數(shù)(r)一般較少，所以也是接近2(n1)階的方程組。有時(shí)，為了程序上處理方便也可把修正方程式排成下列形式：上式與式(240)在本質(zhì)上并無(wú)任何不同。迭代結(jié)束后，我們利用平衡節(jié)點(diǎn)的功率方程式來(lái)確定其有功功率及無(wú)功功率。 修正方程式 ，它們?cè)谂ｎD法潮流程序中都有應(yīng)用[14]。第t次迭代時(shí)的修正方程式為或上式左端可以看成是近似解引起的誤差，當(dāng)時(shí)，就滿足了原方程式(215)，因而就成為該方程式的解。我們以如下非線性方程式的求解過(guò)程為例來(lái)說(shuō)明：設(shè)為該方程式的初值，而真正解x在它的近旁式巾：為初值的修正量。把上式中各節(jié)點(diǎn)的電壓向量表示為直角坐標(biāo)的形式：式中：則由式（25）就可以得到令式中式中：、實(shí)際上是節(jié)點(diǎn)i注入電流的實(shí)部和虛部。 節(jié)點(diǎn)電壓向量可以表示為極坐標(biāo)的形式，也可以表示為直角坐標(biāo)的形式。因此，對(duì)這個(gè)節(jié)點(diǎn)給定的運(yùn)行參數(shù)V和，故也可以稱為節(jié)點(diǎn)。這類節(jié)點(diǎn)給出的運(yùn)行參數(shù)為該點(diǎn)的有功功率P及電壓幅值V，待求量是該點(diǎn)的無(wú)功功率Q及電壓向量的角度。如上所述，電力潮流基本方程式(24)共有n個(gè)復(fù)數(shù)方程式，相當(dāng)于2n個(gè)實(shí)數(shù)方程式，因此只能解出2n個(gè)運(yùn)行參數(shù)，其余2n個(gè)應(yīng)作為原始數(shù)據(jù)事先給定。圖21表示了一個(gè)簡(jiǎn)單電力系統(tǒng)的接線圖。在本書后的附錄中給出了PQ分解法潮流程序的詳細(xì)框圖，供編制程序時(shí)參考。自從20世紀(jì)60年代中期利用了最佳順序消去法[7]以后，牛頓法在收斂性、內(nèi)存要求、速度方面都超過(guò)了阻抗法，成為直到目前仍在廣泛采用的優(yōu)秀方法。 阻抗法改善了系統(tǒng)潮流計(jì)算問(wèn)題的收斂性，解決了導(dǎo)納法無(wú)法求解的一些系統(tǒng)的潮流計(jì)算，當(dāng)時(shí)獲得了廣泛的應(yīng)用，曾為我國(guó)電力系統(tǒng)設(shè)計(jì)、運(yùn)行和研究作出了很大的貢獻(xiàn)。隨著電力系統(tǒng)不斷擴(kuò)大，潮流問(wèn)題的方程式階數(shù)越來(lái)越高(目前已達(dá)幾千階甚至超過(guò)1萬(wàn)階)，對(duì)這樣規(guī)模的方程式并不是采用任何數(shù)學(xué)方法都能保證給出正確答案的。本章的前半部分介紹潮流計(jì)算的模型和算法，后半部分討論與靜態(tài)安全分析有關(guān)的問(wèn)題。電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析(見第5章、第6章)的主要目的是研究系統(tǒng)在各種干擾下的穩(wěn)定性，屬于動(dòng)態(tài)安全分析，在其數(shù)學(xué)模型中包含微分方程，應(yīng)該指出，電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析不僅在穩(wěn)定運(yùn)行方式分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行，而且穩(wěn)態(tài)分析的算法也是動(dòng)態(tài)分析算法的基礎(chǔ)。因此其數(shù)學(xué)模型不包含微分方程，是一組高階數(shù)的非線性方程。因此不得不尋求一些特殊的算法以滿足要求。因此，對(duì)潮流計(jì)算方法，首無(wú)要求它能可靠地收斂，并給出正確答案。而且阻抗法每迭代一次都要求順次取阻抗矩陣中的每—個(gè)元素進(jìn)行運(yùn)算，因此，每次迭代的運(yùn)算量很大。解決電力系統(tǒng)潮流計(jì)算問(wèn)題是以導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的，因此，只要在迭代過(guò)程中盡可能保持方程式系數(shù)矩陣的稀疏性，就可以大大提高牛頓法潮流程序的效率。 本章主要介紹當(dāng)前通用的牛頓法和PQ分解法。 潮流計(jì)算問(wèn)題的數(shù)學(xué)問(wèn)題 潮流計(jì)算問(wèn)題的節(jié)點(diǎn)類型 電力系統(tǒng)由發(fā)電機(jī)、變壓器、輸電線路及負(fù)荷等構(gòu)成。 將式(23)代入式(22)，可得到或上式含有n個(gè)非線性復(fù)數(shù)方程式，是潮流計(jì)算問(wèn)題的基本方程式，對(duì)這個(gè)方程式的不同應(yīng)用和處理．就形成了不同的潮流程序，電力系統(tǒng)潮流汁算中，表征各個(gè)節(jié)點(diǎn)運(yùn)行狀態(tài)的參數(shù)是該點(diǎn)的電壓向量及復(fù)功率，也就是說(shuō)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有4個(gè)表征節(jié)點(diǎn)運(yùn)行狀態(tài)的量：、因此，在n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)中共有4n個(gè)運(yùn)行參數(shù)。(2)PV節(jié)點(diǎn)。對(duì)這個(gè)節(jié)點(diǎn)，我們給定該點(diǎn)的電壓幅值，井在計(jì)算中取該點(diǎn)電壓向量的方向作為參考軸，相當(dāng)于給定該點(diǎn)電壓向量的角度為零度。這一節(jié)我們首先推導(dǎo)節(jié)點(diǎn)功率的方程式。這個(gè)方程組不僅在牛頓法潮流程序中非常重要。這個(gè)方法把非線性方程式的求解過(guò)程變成反復(fù)對(duì)相應(yīng)的線性方程式的求解過(guò)程，通常稱為逐次線性化過(guò)程，這是牛頓法的核心。現(xiàn)在如果再以作為初值，解式(219)，就能得到更趨近于真正解的 這樣反復(fù)下去，就構(gòu)成了不斷求解線性修正方程式的逐步線性化過(guò)程。為了判斷收斂情況，可采用以下兩個(gè)不等式中的一個(gè)：式中：及分別表示向量及的最大分量的絕對(duì)值；和為預(yù)先給出的很小正數(shù)。同樣道理，由于平衡節(jié)點(diǎn)電壓幅值及相角都是給定量，因此與平衡節(jié)點(diǎn)有關(guān)的方程式也不參與這迭代過(guò)程。 利用簡(jiǎn)單的微分運(yùn)算對(duì)式(2 3)或?qū)κ?238)、式(239)取偏導(dǎo)數(shù)，并注意式中、均為常數(shù)，不難得到雅可比矩陣中各元素的表達(dá)式：或修正方程式（240）還可以寫成更為簡(jiǎn)單的形式對(duì)照式(2—40＞不難看出式中各符號(hào)的意義。研究以上公式，不難看出這兩種修正方程式有以下持點(diǎn)：(1)修正方程式(254)顯然是2(n1)階的，修正方程式(240)的階數(shù)為2(n1)r。例如，文獻(xiàn)[12]提出當(dāng)采用直角坐標(biāo)時(shí)，如果以注入電流[見式(24)]構(gòu)成潮流方程，則其修正方程式的雅可比矩陣中非對(duì)角元素將為常數(shù)，從而提高求解效率。關(guān)于對(duì)兩種坐標(biāo)系統(tǒng)的修正方程式的比較，可參考文獻(xiàn)[14]。(3)將電壓初值代入式(255)、式(256)中求修正方程式系數(shù)矩陣(雅可比矩陣)各元素。圖23 牛頓法潮流程序原理框圖現(xiàn)在我們僅就與修正方程式處理無(wú)關(guān)的問(wèn)題作簡(jiǎn)單的介紹。在這時(shí)，初值采用“平啟動(dòng)”方式，即牛頓法都能給出比較滿意的結(jié)果。如前所述，牛頓法修正方程式的階數(shù)為2(n1)，因此需要個(gè)內(nèi)存單元貯存整個(gè)系數(shù)矩陣，而且求解線性方程式的運(yùn)算量在某些情況下達(dá)到乘加運(yùn)算，這樣就限制了牛頓法的應(yīng)用和推廣。式(260)中雅可比矩陣非對(duì)角元素的表示式為顯然，非對(duì)角線元素只與導(dǎo)納矩陣中相應(yīng)的元素及該節(jié)點(diǎn)的電壓分量有關(guān)。式中等帶上標(biāo)“”元素為消去過(guò)程中新增加的非零元素。在程序中對(duì)修正方程式采取了按節(jié)點(diǎn)邊形成邊消去的過(guò)程，在形成雅可比矩陣元素的同時(shí)積累數(shù)項(xiàng)，顯著地減少了迭代過(guò)程的運(yùn)算量。為了減少計(jì)算過(guò)程的舍入誤差，應(yīng)該吧最大元素排列在對(duì)角元素的位置上。為了說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，我們存在24中列出了雅可比矩陣對(duì)角元素在迭代過(guò)程中的變化情況。但是，H、L在迭代過(guò)程中仍然不斷變化，而且又都是不對(duì)稱矩陣，因此，對(duì)牛頓法的第二個(gè)簡(jiǎn)化，也是比較關(guān)鍵的一個(gè)簡(jiǎn)化，就是式(267)中的系數(shù)矩陣簡(jiǎn)化為在迭代過(guò)程中不變的對(duì)稱矩陣。PQ分解法通過(guò)對(duì)電力系統(tǒng)具體特點(diǎn)的分析，對(duì)牛頓法修正方程式的雅可比矩陣進(jìn)行了有效的簡(jiǎn)化和改進(jìn)，得到式(275)、式(276)所示的修正方程式。PQ分解法所采取的一系列簡(jiǎn)化假定只影響了修正方程式的結(jié)構(gòu)，也就是說(shuō)只影響了迭代過(guò)程，但未影響最終結(jié)果。首先應(yīng)該指山，與的階數(shù)是不同的，為n1階，低于n1階。按式(283)及式(284)形成與的PQ分解法通常又叫BX法，與該方法相對(duì)應(yīng)的另一種方法是XB法。 如前所述，PQ分解法改變了牛頓法迭代公式的結(jié)構(gòu)，因此就改變了迭代過(guò)程的收斂特性。例如，對(duì)IEEE的118節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)而言。 ：為電壓向量數(shù)組，包括各節(jié)點(diǎn)電壓的幅值及角度。 應(yīng)該指出，和的形成可在形成導(dǎo)納矩陣過(guò)程中同時(shí)進(jìn)行。 框⑥建立了這代的初始狀態(tài)，迭代是由迭代開始的，因此應(yīng)置“0”?！窘狻?計(jì)算過(guò)程按照?qǐng)D29所示的程序進(jìn)行。首先，根據(jù)上面功率誤差計(jì)算式求出第一次迭代時(shí)各節(jié)點(diǎn)有功功率的誤差這樣就可以得到修正方程式的常數(shù)項(xiàng)用第一因子表對(duì)它進(jìn)行消去回代運(yùn)算以后，就得到各節(jié)點(diǎn)的修正量必須注意，在迭代過(guò)程中，利用第一因子表對(duì)常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行消去回代運(yùn)算后應(yīng)得到見式[(281)]，但本例題采用標(biāo)全值進(jìn)行計(jì)算，且，因此對(duì)各節(jié)點(diǎn)電壓向量角度進(jìn)行修正以后，得到第一次迭代后的然后進(jìn)行QV迭代。對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答可能是系統(tǒng)的潮流和電壓都在容許的范圍之內(nèi)，或者出現(xiàn)某些輸變電設(shè)備過(guò)負(fù)荷或某些母線電壓越界的情況。在電力系統(tǒng)的運(yùn)行中，為了避免過(guò)負(fù)荷和電壓越界引起的設(shè)備損壞，或由于過(guò)負(fù)荷設(shè)備在系統(tǒng)保護(hù)作用下退出運(yùn)行而導(dǎo)致大面積連鎖反應(yīng)性的停電，在線或?qū)崟r(shí)地進(jìn)行系統(tǒng)靜態(tài)安全分析非常重要[23,24]。因?yàn)檫@時(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)均未發(fā)生變化，所以網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣、導(dǎo)納短陣以及PQ分解法中的因子表都應(yīng)和基本運(yùn)行方式一樣。當(dāng)潮流程序用作在線靜態(tài)安全監(jiān)視時(shí)，利用補(bǔ)償法以加速順序開斷方式的檢驗(yàn)就顯得特別重要。由于這種情況下各節(jié)點(diǎn)的注入電流已知，因此利用原網(wǎng)絡(luò)N的因子表不難求得現(xiàn)在討論如何求得圖213(b)中各節(jié)點(diǎn)電壓。 (2)利用式(292)求等值發(fā)電機(jī)的內(nèi)阻抗，并進(jìn)而根據(jù)式(294)求人 (3)利用原網(wǎng)絡(luò)因子表對(duì)節(jié)點(diǎn)注入電流向量進(jìn)行消去回代運(yùn)算，求出，見圖213(a)。 對(duì)于式(281)、式(282)所示的修正方程式，可以分別看成是由“導(dǎo)納矩陣”及所描述網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)方程式，其注入電流分別為及，待求的節(jié)點(diǎn)電壓為及，這樣就可以完全套用以上的計(jì)算過(guò)程。 直流潮流模型支路有功潮流可表示為式中：為支路的變壓器非標(biāo)準(zhǔn)變比；為支路兩端節(jié)點(diǎn)電壓的相角差；為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣元素的實(shí)部與虛部。這里的支路是指兩節(jié)點(diǎn)間各線路的并聯(lián)，線路是支路中的一個(gè)元件。 檢驗(yàn)與故障排序方法 目前比較常見的網(wǎng)絡(luò)安全運(yùn)行要求是滿足檢驗(yàn)，即在全部N條線路中任意開斷一條線路后，系統(tǒng)的各項(xiàng)運(yùn)行指標(biāo)均應(yīng)滿足給定的要求。 為了綜合反映系統(tǒng)的過(guò)負(fù)荷情況，定義標(biāo)量函數(shù) (Performance lndex)作為系統(tǒng)行為指標(biāo)：式中：為線路的有功潮流；為線路的傳輸容量；為支路中的并聯(lián)線路數(shù)；為線路的權(quán)系數(shù)，反映該線路故障對(duì)系統(tǒng)的影響；為網(wǎng)絡(luò)支路數(shù)。 可以用特勒根定理和伴隨網(wǎng)絡(luò)的方法進(jìn)行計(jì)算，有興趣的讀者可參閱參考文獻(xiàn)[3]。在已形成矩陣的情況下，用這些公式計(jì)算各條線路開斷后的值比較方便。我們將在本節(jié)介紹一種斷線分析的靈敏度法[28]。因?yàn)樵诔绷饔?jì)算時(shí)已經(jīng)進(jìn)行了三角分解，所以很容易通過(guò)回代運(yùn)算求出。 設(shè)系統(tǒng)中總的支路數(shù)為，斷線支路兩端節(jié)點(diǎn)為，則在階向量中只有與支路對(duì)應(yīng)的元素為非零元素，即對(duì)于一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)為N的網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，式(2156)中的為階矩陣，由式(2141)可知，只有節(jié)點(diǎn)和的注入功率和支路的導(dǎo)納有直接關(guān)系，即只有求節(jié)點(diǎn)的注入功率時(shí)才用到和。 式(2166)是斷線分析的主要公式，式中右端各項(xiàng)均可由牛頓法正常潮流計(jì)算結(jié)果獲得。圖216 快速斷線分析計(jì)算流程圖應(yīng)當(dāng)指出，當(dāng)斷線使系統(tǒng)分解成兩個(gè)不相連的子系統(tǒng)時(shí)，式(2167)中矩陣的逆矩陣不存在，因而不能直接進(jìn)行斷線分析.以上討論我們?cè)俣ㄋ泄?jié)點(diǎn)均為節(jié)點(diǎn)。2)以斷開線路5—6為例說(shuō)明斷線分析計(jì)算過(guò)程。最大誤差為0．01