復(fù)合函數(shù)概念精析(更新版)
【正文】 代換，實質(zhì)上是換元法。 從結(jié)構(gòu)特征理解除最內(nèi)層函數(shù)允許對自變量施行加、乘運算外，每一次復(fù)合都是把內(nèi)層函數(shù)的整體作為自變量施行新的映射，這樣，像穿衣服一樣，從內(nèi)到外逐次添加映射，直至構(gòu)造出所需函數(shù)。要使y=f(u)仍然是函數(shù)，就要求u=g(x)的值域M和y=f(u)的定義域N必須有交集（非空數(shù)集）。從外向內(nèi)看，函數(shù)y=f［g(x)］中稱f定義的函數(shù)y=f(u)為外層函數(shù)（外函數(shù)），稱g定義的函數(shù)u=g(x)為內(nèi)層函數(shù)（內(nèi)函數(shù)），且稱函數(shù)y=f［g(x)］為函數(shù)f和g復(fù)合一次得到。f(x)一、 復(fù)合函數(shù)的概念我們見到的復(fù)合函數(shù)的描述性定義是：如果y是u的函數(shù)，而u又是x的函數(shù)，即y=f(u)，u=g(x)，那么y關(guān)于x的函數(shù)y=f［g(x)］叫做函數(shù)f和g的復(fù)合函數(shù)，u叫做中間變量。 由字面理解“復(fù)合”本來是指“合在一起，結(jié)合起來”的意思，但在復(fù)合函數(shù)的定義中，對復(fù)合步驟的方式有特殊的約定。這里的幾個映射可以相同，也可以不同，但只能是常數(shù)與基本初等函數(shù)間進行的冪的運算，指數(shù)運算，對數(shù)運算，三角運算，反三角運算。 從函數(shù)定義理解既然函數(shù)y=f［g(x)］可視為函數(shù)y=f(u)和函數(shù)u=g(x)復(fù)合得到，因而它們都必須符合函數(shù)的定義，這才是復(fù)合函數(shù)定義的關(guān)鍵所在。有的同學(xué)不加分析地認(rèn)為任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)，事實卻不然，例如y= ln ( sin x –2),y=arc cos(x+2)等都不是復(fù)合函數(shù)，因為y=ln u是自然對數(shù)，定義域N必須符合u 0 (u∈N),但u= sin x–2,而|sin x|≤1故sin x–2 ≤–1,于是有MN=｛u︱u0｝｛x｜sin x–2≤–1｝=ф,故y= ln (sin x–2)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。 先看復(fù)合。 二、 復(fù)合函數(shù)初等性質(zhì)舉要 在中學(xué)，我們可以探討復(fù)合函數(shù)的哪些性質(zhì)呢？和常見的基本初等函數(shù)一樣，我們可以探討復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性，極值與最值。 因為f代表同一映射，只需用代換法則，先將原函數(shù)的定義域?qū)懗蓌的不等式，再將x換成中間變量 g ( x )，解所得不等式即可。 用代換法則像求函數(shù)值一樣，從內(nèi)向外逐次將內(nèi)層函數(shù)的表達式代換外層函數(shù)的自變量解出。 （3）已知復(fù)合函數(shù)適合的函數(shù)方程，求復(fù)合函數(shù)的表達式。解：設(shè) t=x+3,則x=t–3,有f ( t ) = (t3)+ 2 (t3)+1 = (t2)，∴f(x) = (x2)，故f (x3) = ［(x3)2］=（x5）。 當(dāng)復(fù)合函數(shù)各層子函數(shù)都有奇偶性時，可用下列法則判斷它的奇偶性。 定理2當(dāng)y=f(u)為增函數(shù)，u=g(u)為減函數(shù)，或y=f(u)為減函數(shù)，u=g(u)為增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］為減函數(shù)，簡記為“異向為減”。 若外層函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)有最值時，內(nèi)層函數(shù)的最值點就是復(fù)合函數(shù)的最值點；若外層函數(shù)有最值時，外層函數(shù)的最值點就是復(fù)合函數(shù)的最值點。 求反函數(shù) 當(dāng)復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］的各層子函數(shù)均為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)時，有反函數(shù)。解：原函數(shù)y= 2 lg(x+1)2的圖像可由函數(shù)y= lgx的圖像經(jīng)過下列變換得到：y= lgx 沿x軸伸長3倍后，向右平移3個單位 y= lg(x 1) 關(guān)于直線x=3對稱y=lg［ (x 1)］ 沿y軸方向伸長2倍 y=2lg［ (x 1)］ 關(guān)于x軸對稱y= 2lg［ (x 1)］沿y軸向下平移2個單位 y= 2lg［ (x 1)］2 = 2 lg(x+1)2。例如y=sin (arc sin x)=x,x∈［1,1］ ；y=arc sin(sin x)=x,x∈R. (3) y= g［f(x)］與y= f［g(x)］的
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