【正文】 在△ AED中 ,∵∠ A=60176。,AC=6 cm,BC=8 cm,動點 P從點 B出發(fā) ,在 BA邊上以每秒 5 cm的速度向點 A勻速運動 ,同時動點 Q從點 C出發(fā) ,在 CB邊上以每秒 4 cm的速 度向點 B勻速運動 ,運動時間為 t秒 (0t2),連接 PQ. (1)若△ BPQ與△ ABC相似 ,求 t的值 。 39。B39。, ∴∠ GEA+∠ EAG=∠ EAG+∠ AFM, ∴∠ AFM=∠ AEG, ∵∠ FAD=∠ EGA=90176。 ② 若 m=? ,求證 :AE=DF。, ∴∠ BCD=90176。CB,∴ CD=? ,∴ BD=? . ∵∠ ADO=∠ ADB,∠ 2=∠ ABD, ∴ △ ADO∽ △ BDA,∴ AD2=DO,∴ △ AMN∽ △ BCM. ∴ ? =? ,即 ? =? .∴ AN=? a,∴ ND=2a? a=? a. ∴ ? =? a∶ ? a=3. (3)解法一 :? =? =n,設(shè) MB=a,與 (2)同理可得 CE=na,AM=(2n1)a,BC=2a, 由△ AMN∽ △ BCM,得 AN=? (2n1)a,DN=? , EFBF CEMBABBCANMBAMBC ANa 32 aa 32 32 12ANND 32 12ABBC EFFB12(2 5)2na?∵ DH∥ AM,∴ ? =? ,∴ DH=(2n5)a,∴ HE=(5n)a. 當 MN∥ BE時 ,四邊形 MBEH是平行四邊形 , ∴ (5n)a=a,∴ n=4. ∴ 當 n=4時 ,MN∥ BE. ? 解法二 :? =? =n,設(shè) MB=a,與 (2)同理可得 CE=na,BC=2a, 當 MN∥ BE時 ,CM⊥ BE,可證△ MBC∽ △ BCE,∴ ? =? . ∴ ? =? ,∴ n=4. ∴ 當 n=4時 ,MN∥ BE. DNAN DHAMABBC EFFBMBBC BCCE2aa 2 ana思路分析 (1)所證結(jié)論是相等關(guān)系 ,考慮證三角形全等 . (2)設(shè) MB=a,利用相似三角形將 AN,ND用含 a的式子表示出來 ,進而得比值 . (3)類比 (2)求解 . 評析 本題是探究型問題 ,考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定 和性質(zhì) . 6.(2022麗水、衢州 ,23,10分 ) 提出問題 : (1)如圖 1,在正方形 ABCD中 ,點 E,H分別在 BC,AB上 ,若 AE⊥ DH于點 O,求證 :AE=DH。 (2)若 AD=3,AB=5,求 ? 的值 . ? AFAG解析 (1)證明 :因為 AF⊥ DE,AG⊥ BC, 所以 ∠ AFE=90176。, 因為 ∠ CFG2=∠ EDC, 所以 ∠ ECD+∠ CFG2=∠ ECD+∠ EDC=90176。,AB=2,DC=3,則△ ABC與△ DCA的面積比為 ? ( ) ? ∶ 3 ∶ 5 ∶ 9 D.? ∶ ? 2 3答案 C ∵ AD∥ BC,∴∠ ACB=∠ DAC. 又 ∵∠ B=∠ ACD=90176。直線 DF分別交 l1,l 2,l3于點 D,E, DF相交于點 G,且 AG=2,GB=1,BC=5,則 ? 的值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? DEEF12 25 35答案 D ? =? =? ,故選 D. DEEF ABBC 354.(2022寧波 ,8,4分 )如圖 ,梯形 ABCD中 ,AD∥ BC,∠ B=∠ ACD=90176。, 所以 ∠ EDC+∠ ECD=90176。, ∴ △ BDE∽ △ CAD. (2)易知 BD=? BC=5, 在 Rt△ ADB中 ,AD=? =? =12, 由 (1)易得 ? =? ,∴ ? =? , ∴ DE=? . 1222AB BD? 2213 5?BDCA DEAD 51312DE6013思路分析 (1)由等腰三角形的性質(zhì) ,得 ∠ B=∠ C,AD⊥ BC,因為 DE⊥ AB,所以 ∠ DEB=∠ ADC, 根據(jù)相似三角形的判定定理 ,即可解決問題 . (2)利用勾股定理求出 AD,再利用 (1)的結(jié)論列式求解 . 解題關(guān)鍵 本題考查相似三角形的判定定理和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識 ,解題的關(guān)鍵 是熟練掌握基本知識并靈活應(yīng)用 . 4.(2022杭州 ,19,8分 )如圖 ,在銳角三角形 ABC中 ,點 D,E分別在邊 AC,AB上 ,AG⊥ BC于點 G,AF⊥ DE于點 F,∠ EAF=∠ GAC. (1)求證 :△ ADE∽ △ ABC。 (3)若 ? =? =n,當 n為何值時 ,MN∥ BE? ? ABBC EFBF ANNDABBC EFBF解析 (1)證明 :∵ F為 BE中點 ,∴ BF=EF. ∵ AB∥ CD,∴∠ MBF=∠ CEF,∠ BMF=∠ ECF. ∴ △ BMF≌ △ ECF(AAS).∴ MB=CE. ∵ AB=CD,CE=DE,∴ MB=AM.∴ AM=CE. (2)設(shè) MB=a,∵ AB∥ CD,∴ △ BMF∽ △ ECF. ∵ ? =2,∴ ? =2.∴ CE=2a. ∴ AB=CD=2CE=4a,AM=ABMB=3a. ∵ ? =2,∴ BC=AD=2a. ∵ MN⊥ MC,∠ A=∠ ABC=90176。 當 2ADAB時 ,AECE,S1變大 ,S2變小 ,不能確定 2S2與 3S1的大小關(guān)系 ,故選 D. AEEC ADDBADEBDECSS四 邊 形 132.(2022湖州 ,10,3分 )如圖 1,在等腰三角形 ABC中 ,AB=AC=4,BC= 2,在底邊 BC上取一點 D, 連接 AD,使得 ∠ DAC=∠ 3,將△ ACD沿著 AD折疊 ,使得點 C落在點 E處 ,連接 BE,得到 四邊形 BE的長是 ? ( ) ? B.? ? ? 1742 5答案 B 如圖 ,設(shè) AE與 BC交于點 O,∠ C=α. ∵ AB=AC,∴∠ ABC=∠ C=α,由已知條件及折疊的性質(zhì)得 ∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ C=α,AE=AC=AB=4, ? ∴ △ CDA∽ △ CAB,∴ AC2=CDAB, ∴ △ ABC是比例三角形 . (3)如圖 ,過點 A作 AH⊥ BD于點 H. ∵ AB=AD, ∴ BH=? BD. ∵ AD∥ BC,∠ ADC=90176。,AB≥ AC,D,E分別為 AC,BC邊上的點 (不包 括端點 ),且 ? =? =m,連接 AE,過點 D作 DM⊥ AE,垂足為點 M,延長 DM交 AB于點 F. (1)如圖 1,過點 E作 EH⊥ AB于點 H,連接 DH. ① 求證 :四邊形 DHEC是平行四邊形 。, ∴ △ HEA≌ △ AFD, ∴ AE=DF. (2)過點 E作 EG⊥ AB于 G, ∵ CA⊥ AB, ∴ EG∥ CA, ∵∠ EGA=∠ AMF=90176。=2∶ 3,則四邊形 ABCD與四邊形 A39。 39。D項 ,圓內(nèi)接四邊形對角互補 ,故本選項正確 .故選 D. 3.(2022甘肅蘭州 ,17,4分 )如果 ? =? =? =k(b+d+f≠ 0),且 a+c+e=3(b+d+f),那么 k= . ab cd ef答案 3 解析 由題意可得 ? =k,則 a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),故 k=3. a c eb d f??4.(2022湖北武漢 ,24,8分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, ∴∠ EDA+∠ FDB=120176。.請用尺規(guī)過點 A作一條直線 ,使其將△ ABC分 成兩個相似的三角形 .(保留作圖痕跡 ,不寫作法 ) ? 解析 如圖 ,直線 AD即為所作 .? (5分 ) ? 1.(2022江蘇連云港 ,25,10分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。. 又 ? =? ,∴ △ ACD∽ △ CBD.? (4分 ) (2)∵ △ ACD∽ △ CBD, ∴∠ A=∠ BCD. 在△ ACD中 ,∠ ADC=90176。AB, ∴ ? =? , ∴ △ ABD∽ △ ADE. (2)∵ △ ABD∽ △ ADE, ∴∠ ADB=∠ AED. ∵∠ EDC=180176。 (2)若△ ABC和△ BDE的面積分別是 20和 5,DE=2? ,求點 B到直線 AC的距離 . ? 2解析 (1)證明 :∵ AD⊥ BC于點 D,CE⊥ AB于點 E, ∴∠ CEB=∠ ADB=90176?！?DEF∠ DEB, ∠ DEF=∠ B, ∴∠ BDE=∠ CEF, ∴ △ BDE∽ △ CEF. (2)∵ △ BDE∽ △ CEF, ∴ ? =? , ∵ 點 E是 BC的中點 , ∴ BE=CE, ∴ ? =? , ∵∠ DEF=∠ B=∠ C, ∴ △ DEF∽ △ ECF, BECFDEEFCECFDEEF∴ ? =? =? , ∵ EF=6,∴ CF=4. DEEC EFCF326.(2022奉化一模 ,8)如圖 ,在△ ABC中 ,點 D為 BC上一點 ,AB=AD=BD,過點 D作 DE∥ AB交 AC于點 F,且 ∠ CAE=60176。+60176。AC=? BC,AD是△ ABC的優(yōu)美線 ,且△ ABD是以 AB為腰的等腰三角形 ,求 ∠ BAC 的度數(shù) 。, ∴ △ CAD∽ △ CBA, ∴ 線段 AD是△ ABC的優(yōu)美線 . (2)由題意知△ CAD∽ △ CBA, 且等腰△ ABD中 ,AB=AD或 AB=BD. 若 AB=AD,則 ∠ B=∠ ADB=∠ CAD,則 AC∥ BC,不符合題意 , ∴ AB=BD,又 ∠ B=46176。 ② 若 HG=n (3)若△ ABC的面積為 10,點 G為 AF上的動點 ,設(shè) FC=xAC,求△ DEG的面積 y的最大值 . ? 23 BEAF解析 (1)證明 :∵ DE∥ AC,DF∥ AB, ∴ △ BDE∽ △ BCA,△ DCF∽ △ BCA, ∴ △ BDE∽ △ DCF. (2)解法一 :∵ DE∥ AC,DF∥ AB, ∴ 四邊形 AEDF為平行四邊形 . 又 DE=DF, ∴ ?AEDF為菱形 , ∴ AF=DF=DE. ∵ △ BED∽ △ DFC, ∴ ? =? , ∴ ? =? =? . 解法二 :因為 FC=? AF,可設(shè) FC=2a,則 AF=3a,同解法一可得四邊形 AEDF為菱形 ,則 DF=DE=AF =3a, ∵ △ BED∽ △ DFC, BEDEDFCFBEAF AFCF 3223∴ ? =? , 可得 BE=? a, ∴ BE∶ AF=? a∶ 3a=3∶ 2,即 ? =? . (3)∵ △ BAC∽ △ DFC, 又 S△ ABC=10,? =x, ∴ S△ DFC=10x2,同理 ,由 ? =1x可得 S△ BDE=10(1x)2, ∴ y=? S?AEDF=? (S△ ABCS△ DFCS△ BDE)=10x2+10x(0x1), ∴ 當 x=? (滿足 0x1)時 ,y取最大值 ,為 ? . BEDEDFCF9292 BEAF 32FCACBDBC12 1212 52