【正文】 AB, ∴∠ FDC=∠ ABC=∠ GDE=60176。,D,E兩點(diǎn)分別在 BC,AD上 ,AD平分 ∠ BAC,∠ ABE=∠ C. (1)求證 :△ ABE∽ △ ACD。,∠ C=30176。, ∵ AD平分 ∠ BAC, ∴∠ BAD=∠ DAC=50176。=113176。,EC=ED,FC=FD, ∵∠ BDF+∠ FDE=∠ BDE=∠ A+∠ DEA, 又 ∵∠ FDE=∠ A=60176。 ② 如果 AD∶ DB=1∶ 2,求 CE與 CF的比 。, ∴∠ BAC=67176。, ∴∠ BAC=180176。,∴ DF=AF=x, ∴ CF=2? x, 易得 DF∥ AB,∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 x=? , ∴ ? =? =? ,∴ ? =? ,∴ BD=? BC=? , ∴ S△ BDE=? BDCD, ∵ AB=AD=2? , ∴ DECD的值 . ? 3解析 (1)證明 :∵ AB=AD=BD, ∴ △ ABD是等邊三角形 ,∠ BAD=∠ ABD=∠ ADB=60176。③ BE= AF。CA, ∴ AC=? =? =4. ADAE ABADCDCA ECCD2CDEC9941.(2022濱江二模 ,10)如圖 ,△ ABC∽ △ DBE,延長 AD交 CE于點(diǎn) ∠ DEB=45176。, 即 ∠ ACB=90176。 (2)若 ∠ CBD=∠ A,求 AB的長 . ? 考點(diǎn)三 相似圖形的應(yīng)用 解析 (1)∵ DH∥ AB,∴∠ BHD=∠ ABC=90176。, ∴∠ AED=∠ BDF, 又 ∵∠ A=∠ B,∴ △ AED∽ △ BDF, ∴ ? =? =? , 又 ∵ CE=DE,CF=DF, ∴ ? =? ,? =? , 可得 2CE=3CFCE (3)試證明 :PQ的中點(diǎn)在△ ABC的一條中位線上 . ? ? 解析 (1)由題意知 ,BP=5t cm,CQ=4t cm,∴ BQ=(84t)cm. 在 Rt△ ABC中 ,AB=? =10 cm. 當(dāng)△ PBQ∽ △ ABC時(shí) ,有 ? =? ,即 ? =? ,解得 t=1. 當(dāng)△ QBP∽ △ ABC時(shí) ,有 ? =? ,即 ? =? ,解得 t=? . ∴ △ PBQ與△ ABC相似時(shí) ,t=1或 ? . 22AC BC?BPAB BQBC 510t 848 t?BQAB BPBC 8410t? 58 t 32413241(2)如圖 ,過點(diǎn) P作 PD⊥ BC于 D. 依題意 ,得 BP=5t cm,CQ=4t PD=PBABC DA B C DSS 四 邊 形四 邊 形239。D39。 6.(2022紹興 ,20,8分 )課本中有一道作業(yè)題 : ? ? 圖 1 圖 2 (2)如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形 ,如圖 2,這樣 ,此矩形零件的兩條鄰邊長就不能確 定 ,但這個(gè)矩形面積有最大值 ,求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩鄰邊長 . 解析 (1)設(shè) PQ=x mm, ∵ △ APN∽ △ ABC, ∴ ? =? , ∴ ? =? ,解得 x=? ,∴ PN=2x=? . ∴ 這個(gè)矩形零件的兩鄰邊長分別為 ? mm,? mm. (2)設(shè) PQ=x mm, ∵ △ APN∽ △ ABC, ∴ ? =? , ∴ ? =? , 解得 PN=120? x, ∴ S矩形 =x? =? x2+120x=? (x40)2+2 400, ∴ 當(dāng) x=40,即 PQ=40 mm,PN=60 mm時(shí) ,矩形面積最大 . PNBC AEAD2120x 8080x? 2407 48072407 4807PNBC AEAD120PN8080x?323120 2 x???????32321.(2022四川成都 ,8,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD和 A39。, ∴ EH∥ CA, ∴ △ BHE∽ △ BAC, ∴ ? =? , ∵ ? =? , ∴ ? =? , ∴ ? =? , ∴ HE=DC, ∴ 四邊形 DHEC是平行四邊形 . ② ∵ ? =? ,∠ BAC=90176。. 又 ∵∠ ABH=∠ DBC, 12∴ △ ABH∽ △ DBC, ∴ ? =? , ∴ AB4α,由 AE=AB得 ∠ ABE=∠ AEB,∴∠ AEB=2α,∵∠ EAC=2α, ∴∠ AEB=∠ EAC,∴ AC∥ BE,∴ △ ACO∽ △ EBO, ∴ ? =? ,∴ BE=? =? ,故選 B. 167 33725623111233 11933ACBE OCOB AC OBOC? 1743.(2022衢州 ,9,3分 )如圖 ,已知“人字梯”的 5個(gè)踩檔把梯子等分成 6份 ,從上往下的第二個(gè)踩檔 與第三個(gè)踩檔的正中間處有一條 60 cm長的綁繩 EF,tan α=? ,則“人字梯”的頂端離地面的高 度 AD是 ? ( ) ? cm cm cm cm 52關(guān)鍵提示 本題考查了等腰三角形的性質(zhì) ,軸對稱的性質(zhì) ,相似三角形的判定與性質(zhì) .解題的關(guān) 鍵是多次運(yùn)用相似求出相關(guān)線段的長 . 答案 B 如圖 : ? 根據(jù)題意可知 :△ AFO∽ △ ACD,OF=? EF=30 cm, ∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ CD=72 cm. ∵ tan α=? ,∴ ? =? , ∴ AD=? 72=180(cm).故選 B. 12OFDC AFAC 30DC2 . 5652 ADDC5252思路分析 在 Rt△ ADC中已知 tan α=? ,根據(jù)正切函數(shù)的定義 ,要求 AD,只需求出 DC,這可由相 似三角形獲得 . 524.(2022寧波 ,25,12分 )若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積 ,我們把這個(gè)三角形叫 做比例三角形 . (1)已知△ ABC是比例三角形 ,AB=2,BC=3,請直接寫出所有滿足條件的 AC的長 。 綜合運(yùn)用 : (3)在第 (2)問條件下 ,HF∥ GE,如圖 3所示 ,已知 BE=EC=2,EO=2FO,求圖中陰影部分的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB=DA,∠ ABE=∠ DAH=90176。, 所以 ∠ AEF=90176。,AB=15,AC=20,點(diǎn) D在邊 AC上 ,AD=5,DE⊥ BC于點(diǎn) E,連接 AE,則△ ABE的面積等于 . ? 考點(diǎn)二 相似圖形的判定 答案 78 解析 ∵ DE⊥ BC, ∴∠ BAC=∠ DEC,又 ∵∠ C=∠ C, ∴ △ ABC∽ △ EDC,∴ ? =? , 在 Rt△ BAC中 ,∵ AC=20,AB=15, ∴ BC=? =25, 又 ∵ AD=5,∴ CD=15,∴ EC=? =12,∴ BE=13, ∴ S△ ABE=? S△ ABC=? ? 1520=78. ACEC BCCD22AC AB?AC CDBC?BEBC 132512思路分析 △ ABC的面積是很容易求出來的 ,只要知道 BE與 BC的比值即可解決問題 ,又 BC容 易求得 ,故將問題轉(zhuǎn)化為求 BE的長度 ,由△ ABC∽ △ EDC可得 ? =? ,從而求出 EC,由此即可 得出 BE. ACEC BCCD2.(2022嘉興 ,15,5分 )如圖 ,已知△ ABC和△ DEC的面積相等 ,點(diǎn) E在 BC邊上 ,DE∥ AB交 AC于點(diǎn) F, AB=12,EF=9,則 DF的長是 . ? 答案 7 解析 作 AG⊥ BC于點(diǎn) G,DH⊥ BC于點(diǎn) H, ? ∵ DE∥ AB,∴ △ ABC∽ △ FEC,∴ ? =? =? , 即 ? =? ,又 ∵ S△ ABC=S△ DEC, 即 ? BC,點(diǎn) D在 AB邊上 ,DE⊥ AC于點(diǎn) E. (1)若 ? =? ,AE=2,求 EC的長 。 圖形的相似 中考數(shù)學(xué) (浙江專用 ) 1.(2022杭州 ,3,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D,E分別在邊 AB,AC上 ,DE∥ BD=2AD,則 ? ( ) ? A.? =? B.? =? C.? =? D.? =? ADAB 12AEEC 12ADEC 12DEBC 12考點(diǎn)一 相似的有關(guān)概念及性質(zhì) A組 20222022年浙江中考題組 五年中考 答案 B 利用平行線分線段成比例可得 ? =? =? ,此題選 B. AEEC ADBD 122.(2022杭州 ,2,3分 )如圖 ,已知直線 a∥ b∥ c,直線 m分別交直線 a,b,c于點(diǎn) A,B,C。,∠ FCP1+∠ P1CG1=90176。, ∴ △ ABG∽ △ DEH, ∴ ? =? =? ,∴ ? =? ,即 DE=16, ∴ FD=DEFE=169=7. BCEC ABFE129BCEC 4312 12BCEC DHAG DHAG 43DEAB DHAG 43 12DE43思路分析 作兩三角形的高 ,利用面積相等及平行的條件列式求出 DE長 ,進(jìn)而可得 DF的長 . 3.(2022杭州 ,19,8分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD為 BC邊上的中線 ,DE⊥ AB于點(diǎn) E. (1)求證 :△ BDE∽ △ CAD。, 所以△ AFD∽ △ AGB, 所以 ? =? , 又因?yàn)?AD=3,AB=5, 所以 ? =? . AFAG ADABAFAG 355.(2022麗水 ,23,10分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,E為 CD的中點(diǎn) ,F為 BE上的一點(diǎn) ,連接 CF并延長交 AB于點(diǎn) M,MN⊥ CM交射線 AD于點(diǎn) N. (1)當(dāng) F為 BE中點(diǎn)時(shí) ,求證 :AM=CE。. ∴∠ HAO=∠ ADO. ∴ △ ABE≌ △ DAH(ASA), ∴ AE=DH. (2)EF=GH. 理由如下 :將 FE平移到 AM處 ,則 AM∥ EF,AM=EF. 將 GH平移到 DN處 ,則 DN∥ GH,DN=GH. ? ∵ EF⊥ GH,∴ AM⊥ DN, 根據(jù) (1)的結(jié)論得 AM=DN,所以 EF=GH. (3)∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB∥ CD, ∴∠ AHO=∠ CGO, ∵ FH∥ EG, ∴∠ FHO=∠ EGO, ∴∠ AHF=∠ CGE, 又 ∠ HAF=∠ GCE=90176。時(shí) ,求 ? 的值 . ? BDAC解析 (1)? 或 ? 或 ? . (2)證明 :∵ AD∥ BC, ∴∠ ACB=∠ CAD, 又 ∵∠ BAC=∠ ADC, ∴ △ ABC∽ △ DCA, ∴ ? =? ,即 CA2=BCBC=? BD2. 又 ∵ AB, ∴∠ HAE+∠ HEA=∠ HAE+∠ AFM=90176。D39。AB 39。B項(xiàng) ,相似三角形面積比等于相似比的平方 ,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 。cos∠ APD=AP,要使△ ABC∽ △ EPD, 則 ? =? =2,所以 EP=2AB=6,點(diǎn) P所在的格點(diǎn)為 P3,故選 C. EPAB DEAC評析 本題考查相似三角形的判定 ,設(shè)計(jì)巧妙 ,屬容易題 . 3.