【正文】 緣概率密度為 fX(x),fY(y)， E(X+Y)= ? ?? ?? ? ??? ?????? ?????? ??? ??? dx dyyxyfdx dyyxxfdx dyyxfyx ),(),(),()( =E（ X） +E（ Y）， 3得證。給出如下結論： 設 Z是二維隨機變量 ( , )XY 的函數(shù) ( , )Z g X Y? ,其中 g 是二元連續(xù)函數(shù)， （ 1）設 ( , )XY 是離散型，其分布律為 ,{}i i ijP X x Y y p? ? ?， ,ij＝ 1， 2， 3，?， 則當級數(shù)11 ( , )i i ijijg x y p??????絕對收斂時，有 ( ) [ ( , )]E Z E g x y??11 ( , )i i ijijg x y p?????? （ 3） 設 ( , )XY 是連續(xù)型，密度函數(shù)為 ( , )f xy ，則當積分 ( , ) ( , )g x y f x y d xd y?? ???? ???? 絕對收斂時，有 ( ) [ ( , )]E Z E g x y?? ( , ) ( , )g x y f x y d xd y?? ???? ???? 例 5 設風速 V在（ 0， a）上服從均勻分布，即具有概率密度????? ???.,0,av01)(其它，avf 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 又設飛機機翼受到的正壓力 W是 V的函數(shù)： 2kVW? （ V是風速， k0 是常數(shù)），求 W的數(shù)學期望。 5 中定理的條件。并說明 k取什么值時最適宜。 例 3 按規(guī)定，某車站每天 8:00~9:00,9:00~10:00 都恰有一輛客車到站，但到站的時間是隨機的，且兩者到站的時間相互獨立。 (二 ) 數(shù)學期望的計算 關鍵是 ：求出隨機變量的分布律或者密度函數(shù)。 教學重點、難點 ： 數(shù)學期望的概念及其計算； 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的計算及數(shù)學期望的性質。遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 【 基本要求 】 理解隨機變量的數(shù)學期望與方差的概念，掌握它們的性質與計算方法；掌握計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望方法；掌握二項分布、泊松分布、正態(tài)分布和指數(shù)分布的數(shù)學期望和方差；了解協(xié)方差、相關系數(shù)、矩的概念、性質及計算方法。 數(shù)學期望 教學目的： 使學生理解掌握隨機變量的數(shù)學期望的實際意義及概念，會計算具體分布的數(shù)學期望；使學生理解掌握隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的計算及數(shù)學期望的性質。 數(shù)學期望簡稱期望，又稱為 均值 。 我們可以看到 ? ?? ? ?NE ME，即 5個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接工作的平均壽命是串聯(lián)聯(lián)接工作的平均壽命的 倍。試說明當 p較小時，選取適當?shù)?k，按第二種方法可以減少化驗的次數(shù)。 定理 設 Y是隨機變量 X的函數(shù)， ()Y g X? （ g 是連續(xù)函數(shù)） 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 （ 1） X 是離散型隨機變量，它的分布律為 {}kkP X x p??， k ＝ 1， 2， 3，?，若1 ()kkk g X p???絕對收斂，則有 ( ) [ ( )]E Y E g x??1 ()kkk g x p??? （ 2） X 是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為 ()fx，若 ( ) ( )g x f x dx????? 絕對收斂，則有 ( ) [ ( )]E Y E g x??( ) ( )g x f x dx????? 證明 ： 設 X 是連續(xù)型隨機變量，且 y=g(x)滿足第二章167。 上述定理還可以推廣到兩個或兩個以上隨機變量的函數(shù)的情況。 4 設 X 、 Y 是相互獨立的隨機變量，則有 ( ) ( ) ( )E XY E X E Y? 這一性質可以推廣到任意有限個相互獨立的隨機變量之積的情況。計算如下： 0000001( ) ( )()| ( ) |xxxx x xE X x f x dx x e dxxx e d x dex e e dx e???? ? ??????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ??????? 6． 正態(tài)分布 X～ 2( , ), ( )N E X? ? ??則 這里計算了一些，沒計算的由學生自己計算。 教學過程： 上節(jié)課，我們研究了隨即變量的重要 數(shù)字特征 —— 數(shù)學期望。并稱 ()DX 為 X 的 標準差或均方差 。 (1P） +1 40 設 D（ X） =0 的充要條件是 X以概率 1取常數(shù) C，即 P{X=C}=1，顯然這里 C=E(X). 證明 10 D(C)=E{[CE(C)]2}=0 20 D(CX)=E{[CXE(CX)]2}=C2E{[XE(X)]2}=C2D(X). 30 D(X+Y)=E{[(X+Y)E(X+Y)]2}= E{[(XE(X))+(YE(Y))]2} 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 = E{ (XE(X))2}+E{(YE(Y))2}+2E{[XE(X)][YE(Y)]} =D(X)+D(Y)+2E{[XE(X)][YE(Y)]} 上式右端第三項 : 2E{[XE(X)][YE(Y)]} = 2E{XYXE(Y)YE(X)+E(X)E(Y) } =2{ E (XY)E(X)E(Y)E(Y)E(X)+E(X)E(Y) } =2{ E (XY)E(X)E(Y) } 若 X,Y 相互獨立 ,由數(shù)學期望的性 質 40知道上式右端為 0,于是 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 例 6 設 X~b(n,p)，求 E(X),D(X). 解 ：由二項分布的定義知，隨機變量 X 是 n 重伯努利試驗中事件 A 發(fā)生的次數(shù)， 且在每次試驗中 A 發(fā)生的概率為 p，引入隨機變量： 易知 X=X1+X2+? +X n () 由于 X k只依賴于第 k 次試驗，而各次試驗相互獨立，于是 X1， X2，? ， X n相互獨立，又知 X k，k=1,2,??， n服從同一（ 01）分布： ()表明以 n , p 為參數(shù)的二項分布布變量，可分解成為 n 個相互獨立且都服從以 p 為參數(shù)的（ 01）分布的隨機變量之和 。 解 按題意需求 ? ? ? ?0P X Y P X Y? ? ? ? 由于 ( , )X Y N?? 故有 ? ? ? ?0P X Y P X Y? ? ? ?( ) ( 0 . 1 0 ) 0 ( 0 . 1 0 )0 . 0 0 2 5 0 . 0 0 2 5XYP ? ? ? ? ????????＝ 0 .1 0( ) ( 2 ) 0 .9 7 7 20 .0 5? ? ? ? ? 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 （三）切比雪夫（ Chebyshev）不等式 下面介紹一個重要的不等式 . 定理 設隨機變量 X 具有數(shù)學期望 E(X)=? ,方差 D(X)= 2? ，則對于任意正數(shù) ? ，不等式? ? 22PX ??? ?? ? ? 成立。 教學重點、難點 ：協(xié)方差及相關系數(shù)的定義及性質。 當 X 與 Y 相互獨立時， X 與 Y 不相關。 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 例 2 設連續(xù)型隨機變量 ,XY（ ） 的概率密度為 21 2 0 1()0y y xf x y ? ? ? ?? ??， 其 它，求 XY? 。 X 的一階原點矩即為數(shù)學期望，二階中心矩即為方 差； XY和 的二階混合中心矩即為協(xié)方差。 課堂練習 : P141 3 33 課 后作 業(yè) ： P141 32 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案