20xx屆四川省眉山市高三上學(xué)期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)(文)試題(含解析)(更新版)
【正文】 為球心，為半徑的球，根據(jù)球的表面積公式可求得答案.【詳解】解：由已知，平面，根據(jù)線面垂直的定義，有，又，所以，則所以是正三角形．由的可知，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，有平面由線面垂直的定義，有因?yàn)樗?，即為直角三角形．又是直角三角形，所以，的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離都等于，所以，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)所在球是以為球心，為半徑的球，所以，球的長面積為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解幾何體外接球半徑的思路是依據(jù)球的截面的性質(zhì)：利用球的半徑?截面圓的半徑及球心到截面的距離三者的關(guān)系求解，其中確定球心的位置是關(guān)鍵.21．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若在點(diǎn)處的切線垂直于軸，求證（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義進(jìn)行證明即可；（2）運(yùn)用常變量分離法，構(gòu)造新函數(shù)，運(yùn)用二次求導(dǎo)法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題可知，則設(shè)切點(diǎn)為，則由得則，即，得證．因?yàn)?，其中，則對(duì)于恒成立，令，則即令，則，其中，則為的增函數(shù)，又因?yàn)?，所以存在，使得，即，而又由于為的增函?shù)，故，即，又為減函數(shù)；為增函數(shù)，所以故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解不等式恒成立問題一般方法是進(jìn)行常變量分離，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)為（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：直線關(guān)于軸對(duì)稱．【答案】（1）；；（2）證明見解析．【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式把曲線的參數(shù)方程化成普通方程，利用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化公式，結(jié)合兩角和的余弦公式把直線的極坐標(biāo)方程，化成直角坐標(biāo)方程；（2）通過解方程組求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線斜率公式進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）可得曲線的普通方程為．直線的極坐標(biāo)方程可變形為：，于是，其直角坐標(biāo)方程為．（2）由方程組消元，有．由此可知，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為直線的斜率分別為所以，于是，直線關(guān)于軸對(duì)稱．23．已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）令的最小值為正數(shù)滿足，求證：【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行分類討論求解即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行分類討論求出的最小值，最后利用均值不等式進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，此時(shí)無解﹔當(dāng)時(shí)，得，所以，不等式的解集為．（2）由（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則時(shí)，的最小值為，即．于是滿足，當(dāng)且僅當(dāng)且且即時(shí)取“”.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由已知得到這個(gè)變形是解題的關(guān)鍵.
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