20xx屆四川省成都市第十二中學(xué)(川大附中)高三第二次模擬數(shù)學(xué)試題(含解析)(更新版)
【正文】 為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上的最大值為，相應(yīng)的x值為e.（2）由，得.若，則在上，函數(shù)在上為增函數(shù)，由知，方程的根的個(gè)數(shù)是0；若，由，得（舍）或，若，即，在上為增函數(shù)，由知，方程的根的數(shù)是0；若，即，在上為減函數(shù)，又，所以方程在上有1個(gè)實(shí)數(shù)根；若，即，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又，.當(dāng)，即時(shí)，方程在上的根的個(gè)數(shù)是0；當(dāng)時(shí)，方程在上的根的個(gè)數(shù)是1；當(dāng)時(shí)，方程在上的根的個(gè)數(shù)是2；當(dāng)時(shí)，方程上的根的個(gè)數(shù)是1.（3）若，由（2）知，函數(shù)在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，即為，由此說(shuō)明函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，而在上單調(diào)遞減，所以.所以滿足，且對(duì)任意的，都有成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍不存在.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及函數(shù)的零點(diǎn)與恒成立問(wèn)題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．22．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線、的直角坐標(biāo)方程。（2）設(shè)曲線、交于點(diǎn)、曲線與軸交于點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）將曲線的極坐標(biāo)方程變形為，將曲線的極坐標(biāo)方程變形為，由可將曲線、的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）可得出點(diǎn)以及直線的傾斜角為，寫出直線的參數(shù)方程，并將直線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，可得出線段的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)，進(jìn)而可求得線段的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離.【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程可以化為，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，即.曲線的極坐標(biāo)方程可以化為，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的傾斜角為，所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.將的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得，整理得，判別式，設(shè)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、則線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，所以線段的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了利用直線的參數(shù)方程解決實(shí)際問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.23．已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若，且，求證：.【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）將已知條件代入函數(shù)可得分段函數(shù)，然后分類討論求解不等式即可；（2）將不等式化簡(jiǎn)展開(kāi)得，再平方作差即，再進(jìn)行因式分解得，即得證該不等式成立【詳解】解：（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，由，解得，所以不等式的解析為，（2）由題意可得，要證即證，即證因?yàn)樗运?，所以，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此題考查了解絕對(duì)值不等式、證明不等式，常見(jiàn)的方法有：（1）利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想；（2）利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；（3）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖像求解；（4）證明不等式的方法有：比較法、分析法、綜合法等21
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