20xx屆百校聯(lián)盟普通高中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測考試(全國二卷)數(shù)學(xué)(理)試題(含解析)(更新版)
【正文】 點時，．（1）求橢圓的方程；（2）若線段的垂直平分線的方程為，且，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由和離心率為即可求得，方程可解；（2）依題意設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得兩根關(guān)系，分別求得與，再結(jié)合解不等式即可．【詳解】（1）依題意，則，故；而，解得，故橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，由，得．設(shè)，則，．設(shè)的中點為，則，．由于點在直線上，所以，得，代入，得，所以①．因為，所以．由，得，所以，即②．又由①②得．故實數(shù)的取值范圍為．【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、解弦長、斜率、三角形的面積、不等式等問題．22．已知平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，其中點的極坐標(biāo)為．（1）求直線以及曲線的普通方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的值．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出直線的普通方程，在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出曲線的普通方程；（2）將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，進(jìn)而得出，代入韋達(dá)定理即可得解.【詳解】（1）在的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得，在曲線的參數(shù)方程中，可得，即，所以，直線的普通方程為，曲線的普通方程為；（2）易知點，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)點、對應(yīng)的參數(shù)分別、將直線的參數(shù)方程代入得，所以，．由于直線過，故．【點睛】結(jié)論點睛：直線參數(shù)方程的三個應(yīng)用：已知傾斜角為的直線經(jīng)過點，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），已知直線、為直線上的兩個點，對應(yīng)的參數(shù)分別為、.（1），；（2）線段的中點對應(yīng)的參數(shù)為；（3）若線段的中點為，則且.23．已知函數(shù)．（1）在網(wǎng)格紙中作出函數(shù)的圖象；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）寫出的分段函數(shù)形式，再作圖；（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)換為求，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得即可得解.【詳解】（1）依題意，作出函數(shù)的圖象如圖所示，（2）不等式，故恒成立，令，則當(dāng)時，對稱軸為，開口向上，此時；當(dāng)時，對稱軸為，開口向上，此時；當(dāng)時，對稱軸為，開口向上，此時；綜上，可知實數(shù)的取值范圍為．【點睛】方法點睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題， 不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合( 圖像在 上方即可)；③討論最值或恒成立.22
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