20xx屆北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三12月月考試數(shù)學(xué)試題(含解析)(更新版)
【正文】 ）； （2）答案見解析；（3）①，②證明見解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，得出，結(jié)合點(diǎn)斜式，即可求解；（2）求得，分和兩種情況討論，即可求解；（3）求得，①若在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為任意恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可求得的取值范圍；②由存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則為方程的兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為為函數(shù)與的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用和為方程的兩個(gè)根，求得，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，則切線的斜率，所以切線的方程為，即，即曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，可得，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，綜上可得：當(dāng)時(shí)， 函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為時(shí)，遞增區(qū)間.（3）由，可得，①若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則任意恒成立，所以任意恒成立，即任意恒成立，所以只需即可，令，可得，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞間，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.②證明：若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則為方程的兩個(gè)根，所以為方程的兩個(gè)根，即為方程的兩個(gè)根，即為方程的兩個(gè)根，令，可得為函數(shù)與的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由①知，函數(shù)在上單調(diào)遞減時(shí)，反之函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則因?yàn)闉榉匠痰膬蓚€(gè)根，所以，兩式相減得，又因?yàn)?所以，由，可得，即.【點(diǎn)睛】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題的求解策略：通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．根據(jù)恒成求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分類參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常要設(shè)出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，難度較大.21．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)中最大項(xiàng)為Mn，最小項(xiàng)為mn，記．（1）設(shè)：3，0，1，2，請(qǐng)直接寫出數(shù)列；（2）若是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列：（3）給定一個(gè)首項(xiàng)為0，項(xiàng)數(shù)為k的單調(diào)遞增數(shù)列，已知，設(shè)每個(gè)滿足條件的所有項(xiàng)之和為Sk，試求所有這些Sk的和(用關(guān)于k的代數(shù)式表示)．【答案】（1），；（2）證明見詳解；（3）．【分析】（1）根據(jù)定義直接寫出即可；（2）利用是等差數(shù)列，分類討論公差的符號(hào)，分別用新定義結(jié)合等差定義證明即可；（3）利用單調(diào)遞增數(shù)列，故為前項(xiàng)最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，則在中加入第項(xiàng)，則共有種選擇，選擇對(duì)稱狀態(tài)的兩次，得到為等差，問題即可求解．【詳解】（1），；（2）證明：是等差數(shù)列，則設(shè)公差為，所以 ①當(dāng)時(shí)，則，所以，得是等差數(shù)列；②當(dāng)時(shí)，則，所以，所以，則 得是等差數(shù)列；③當(dāng)時(shí)，則，所以，所以，則 得是等差數(shù)列；綜上所述，是等差數(shù)列；（3）因?yàn)閱握{(diào)遞增數(shù)列，故為前項(xiàng)最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)，則；所以在中加入第項(xiàng)，則共有種選擇，則 ，所以 ，又 所以 ，故，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)與時(shí)成立；設(shè)所有這些Sk的和為 則相減得得 ．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義問題，關(guān)鍵通過用類比等方法去理解新的定義．19。
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