20xx屆全國百強(qiáng)名?！邦I(lǐng)軍考試”高三下學(xué)期4月數(shù)學(xué)(文)試題(含解析)(更新版)
【正文】 拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)作傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，且弦的長．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，且與相交于，兩點(diǎn)，若是關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】(1)設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，由弦長公式可得答案.(2)由直線直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，由判別式求出參數(shù)的范圍，設(shè)出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，將韋達(dá)定理代入，根據(jù)參數(shù)的范圍可求出答案.【詳解】（1）設(shè)，．依題意，知直線的方程為，即，將它代入拋物線的方程中，并整理得．由韋達(dá)定理得，其對恒成立；由弦長公式得，化簡得且，解得．故拋物線的方程為．（2）設(shè)，由（1）易得，則依題意知．而①；又因，兩點(diǎn)在直線上，于是，代入①式整理得②．將的方程代入的方程中，化簡得，由韋達(dá)定理得，③，其且，解得且；將③式代入②式化簡得且 ．分情況討論如下：當(dāng)時(shí)，由均值不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號；當(dāng)時(shí)，令，則對恒成立，從而知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．綜上得的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)弦長求拋物線的方程和考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是由，兩點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，將韋達(dá)定理代入可得，從而由參數(shù)的范圍求解，屬于中檔題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，且極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系中的單位長度相同建立極坐標(biāo)系，在極坐標(biāo)系下曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，求的值．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）利用直線的參數(shù)方程消參得到直線的普通方程；（2）先聯(lián)立直線和拋物線的方程，韋達(dá)定理可得間的關(guān)系，再利用參數(shù)方程中的幾何意義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】依題意，當(dāng)傾斜角時(shí)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)得直線的普通方程為；將曲線的極坐標(biāo)方程化為，即，把且代入上式，得曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），代入拋物線的直角坐標(biāo)方程中，并化簡得．又過點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)，所對應(yīng)的參數(shù)分別為，由韋達(dá)定理得，．由直線參數(shù)方程中的幾何意義及點(diǎn)位于，之間，知，；故．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的參普互化，極直互化以及直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.23．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式對恒成立，且，均為正實(shí)數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義取絕對值號，解不等式即可；（2）由絕對值三角不等式把原不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造基本不等式，求出的范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，即不等式為．當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得．綜上所述，得原不等式的解集為．（2）當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．要使不等式對恒成立，等價(jià)于；而，只需成立．又，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）；由，得，即，解得，或（舍去）．故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】（1）含絕對值的函數(shù)問題處理方法：通過對x的范圍的討論去絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)；（2）利用絕對值三角不等式，可以減少絕對值的個(gè)數(shù)，求最大值或最小值.22
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