20xx屆高中數(shù)學(xué)(理科)【統(tǒng)考版】一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：77-數(shù)學(xué)歸納法-【含解析】(更新版)
【正文】 p＝k(k≥2，k∈N*)時，不等式(1＋x)k1＋kx成立．當(dāng)p＝k＋1時，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx21＋(k＋1)x.所以當(dāng)p＝k＋1時，原不等式也成立．綜合(1)(2)可得，當(dāng)x－1且x≠0時，對一切整數(shù)p1，不等式(1＋x)p1＋px均成立．考點三例2 解析：(1)當(dāng)n＝1時，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a10)．當(dāng)n＝2時，由已知得a1＋a2＝＋－1，將a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.∴a2＝－(a20)．同理可得a3＝－.猜想an＝－(n∈N*)．(2)證明：①由(1)知，當(dāng)n＝1,2,3時，通項公式成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N*)時，通項公式成立，即ak＝－.由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，將ak＝－代入上式，整理得a＋2ak＋1－2＝0，∴ak＋1＝－，即n＝k＋1時通項公式成立．由①②可知對所有n∈N*，an＝－都成立．變式練2．解析：(1)由Sn＋an＝2n＋1，得a1＝，a2＝，a3＝，推測an＝＝2－(n∈N*)．(2)證明：an＝2－(n∈N*)，①當(dāng)n＝1時，a1＝2－＝，結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時結(jié)論成立，即ak＝2－，那么當(dāng)n＝k＋1時，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，∵a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，∴2ak＋1＝ak＋2，∴2ak＋1＝4－，∴ak＋1＝2－，∴當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論成立．由①②知對于任意正整數(shù)n，結(jié)論都成立． 6
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鄂ICP備17016276號-1