20xx屆福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”高三12月三校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(含解析)(更新版)
【正文】 （2）根據(jù)分層抽樣的特征10人中男女各5人，女生的人數(shù)X的所有取值為0，1，2，3；，；所以X的分布列為X0123P．20．如圖，在四棱錐中，底面，M為線段上一點(diǎn)，N為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）取的中點(diǎn)T，連接，先證明四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定定理即可；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．再求平面和平面的法向量，再由夾角公式得到，最后由體積公式計算可得.【詳解】（1）證明：由已知得，取的中點(diǎn)T，連接，由N為中點(diǎn)知，．又，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）取的中點(diǎn)E，連接．由得，從而，．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則∴，可?。O(shè)平面的法向量為，由，∴，可取，由，∴得.∴三棱錐的體積．21．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，求出這兩個量的值，進(jìn)而可得出的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分兩種情況討論：①軸，求得；②直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、由直線與圓相切得出，再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式可求得的最大值，進(jìn)而可求得面積的最大值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)、.①當(dāng)軸時，；②當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，則，.將代入橢圓方程整理，得，.，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.，因此，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了橢圓中三角形面積最值的計算，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法以及基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.22．已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的極值；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最小值的正負(fù)性、極值的定義進(jìn)行分類討論求解即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用二次求導(dǎo)法進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）由， 當(dāng)時，若，則恒成立，在上為增函數(shù)，無極值；若，則令得，當(dāng)時，時，此時有極小值點(diǎn)，極小值為．綜上可知：時無極值，時極小值為，無極大值（2）令在上恒成立，則當(dāng)時，故恒成立，即在上恒成立，所以在上遞增，且若，則恒成立，故成立，符合題意；若，則唯一使得，且當(dāng)時，此時在為減函數(shù)，則不合題意．綜上可知：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的最小值的正負(fù)性進(jìn)行分類討論函數(shù)極值是解題的關(guān)鍵，對于不等式恒成立問題，構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.21
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