20xx屆安徽省蚌埠市高三下學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)(更新版)
【正文】 則雙曲線的方程為；（2）證明：可得，設(shè)直線：，聯(lián)立，整理可得，可得，即有，設(shè)直線：，可得，設(shè)直線：，可得，又，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線的一般方法（1）假設(shè)直線方程；（2）聯(lián)立方程：（3）使用韋達(dá)定理；（4）根據(jù)條件計(jì)算.21．已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若恒成立，求的范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)求出的導(dǎo)函數(shù)和它在1處的導(dǎo)數(shù)值，寫(xiě)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式求出切線方程；(2)求得，令，求得，分、和討論，通過(guò)單調(diào)性得函數(shù)的最值或極值，并結(jié)合不等式，即可求解.【詳解】（1）的定義域是，由，得，切線斜率為0，切點(diǎn)為(1，0)，則函數(shù)在處的切線方程為；（2），令，則，①若，則在恒成立，在上單調(diào)遞增，而，即；②若，令，解得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，+∞)上單調(diào)遞增，若，故，從而當(dāng)時(shí)，有，有，在(0，1)上遞減，在(1，+∞)上遞增，故，時(shí)，令，則(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取“=”)，所以在上遞減，即a=1時(shí)，從而時(shí)，恒成立；若，又，令，在(1，+∞)上遞增，故存在，使，或時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，的解為或，在、上都單調(diào)遞增，的解為或， 在、上都單調(diào)遞減，由得，不合題意，綜上：當(dāng)時(shí)，在上恒成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍：(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題；(2)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，借助求導(dǎo)討論單調(diào)性及二次求導(dǎo)討論導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值或最值問(wèn)題解決.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為()，曲線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，為曲線上的兩點(diǎn)，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為3.【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直接求出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程，利用直線和圓相切，直接求即可得解；（2）利用極徑的幾何意義，設(shè)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得解.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為，(為參數(shù))，轉(zhuǎn)換為普通方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)榍€與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)所以圓心到直線的距離.解得，故.（2）設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，的最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查了直線和圓的位置關(guān)系以及利用極徑的幾何意義求最值，：（1）掌握參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化；（2）理解掌握極徑的幾何意義.23．已知函數(shù)，且的最大值為1，（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）直接根據(jù)絕對(duì)值三角不等式即可得結(jié)果；（2）由基本不等式易得，由可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，∴，∴.（2）證明：由，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).第 23 頁(yè) 共 23
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