20xx屆安徽省蚌埠市高三下學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)(更新版)
【正文】 則雙曲線的方程為；（2）證明：可得，設(shè)直線：，聯(lián)立，整理可得，可得，即有，設(shè)直線：，可得，設(shè)直線：，可得，又，所以.【點睛】方法點睛：解決直線與圓錐曲線的一般方法（1）假設(shè)直線方程；（2）聯(lián)立方程：（3）使用韋達(dá)定理；（4）根據(jù)條件計算.21．已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若恒成立，求的范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)求出的導(dǎo)函數(shù)和它在1處的導(dǎo)數(shù)值，寫出切點坐標(biāo)，再由點斜式求出切線方程；(2)求得，令，求得，分、和討論，通過單調(diào)性得函數(shù)的最值或極值，并結(jié)合不等式，即可求解.【詳解】（1）的定義域是，由，得，切線斜率為0，切點為(1，0)，則函數(shù)在處的切線方程為；（2），令，則，①若，則在恒成立，在上單調(diào)遞增，而，即；②若，令，解得：，當(dāng)時，當(dāng)時，在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，+∞)上單調(diào)遞增，若，故，從而當(dāng)時，有，有，在(0，1)上遞減，在(1，+∞)上遞增，故，時，令，則(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取“=”)，所以在上遞減，即a=1時，從而時，恒成立；若，又，令，在(1，+∞)上遞增，故存在，使，或時，時，當(dāng)時，的解為或，在、上都單調(diào)遞增，的解為或， 在、上都單調(diào)遞減，由得，不合題意，綜上：當(dāng)時，在上恒成立.【點睛】方法點睛：由不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍：(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；(2)對參數(shù)進(jìn)行分類討論，借助求導(dǎo)討論單調(diào)性及二次求導(dǎo)討論導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值或最值問題解決.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為()，曲線與有且只有一個公共點.（1）求實數(shù)的值；（2）若，為曲線上的兩點，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為3.【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直接求出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程，利用直線和圓相切，直接求即可得解；（2）利用極徑的幾何意義，設(shè)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得解.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為，(為參數(shù))，轉(zhuǎn)換為普通方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，因為曲線與有且只有一個公共點所以圓心到直線的距離.解得，故.（2）設(shè)，所以，當(dāng)時，的最大值為3.【點睛】本題考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查了直線和圓的位置關(guān)系以及利用極徑的幾何意義求最值，：（1）掌握參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化；（2）理解掌握極徑的幾何意義.23．已知函數(shù)，且的最大值為1，（1）求實數(shù)的值；（2）若，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）直接根據(jù)絕對值三角不等式即可得結(jié)果；（2）由基本不等式易得，由可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，當(dāng)時取到等號，∴，∴.（2）證明：由，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.第 23 頁 共 23
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