20xx屆北京市房山區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題(含解析)(更新版)
【正文】 ，.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進行證明即可；（3）把函數(shù)的圖象的交點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進行求解即可.【詳解】解：（1）因為，所以；因為，所以切線方程為，即；（2）設(shè)，即，令，則或隨變化情況如下表：極小值故=，故，（3）由于，設(shè)，隨變化情況如下表：極大值極小值由表可知，因為，所以在，分別有唯一零點，所以在內(nèi)有兩個零點，在，內(nèi)無零點，內(nèi)有唯一零點.所以存在唯一的自然數(shù)，使得與的圖象在上有兩個不同公共點.【點睛】、方法點睛：把函數(shù)圖象交點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題是解題的關(guān)鍵.20．已知橢圓過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點為橢圓的上頂點，、是橢圓上兩個不同的動點（不在軸上），直線、的斜率分別為、且，求證：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）求得點，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，同理可得點的坐標(biāo)，結(jié)合計算得出，由此可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）根據(jù)題意得：，解得，所以橢圓的方程為；（2）因為點為橢圓上頂點，所以點的坐標(biāo)為，設(shè)點、設(shè)直線，由得，解得，則，即點，設(shè)直線，同理可得，又因為，所以，所以，所以，所以直線過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.21．對于數(shù)列，記，其中表示這個數(shù)中最大的數(shù)，并稱數(shù)列是的“控制數(shù)列”，如數(shù)列的“控制數(shù)列”是.（1）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的“控制數(shù)列”為，寫出所有的；（2）設(shè).（i）當(dāng)時，證明：存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列；（ii）當(dāng)時，求的值(結(jié)果可含).【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）根據(jù)題中所給定義進行求解即可；（2）（i）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題中所給的定義、等差數(shù)列的定義進行證明即可；（ii）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題中所給的定義分類討論進行求解即可.【詳解】解析：（1）；（2）（i）當(dāng)?shù)膶ΨQ軸，故當(dāng)時單調(diào)遞增，由于，故當(dāng)時有，由于是等差數(shù)列，故存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列；（ii）的對稱軸，由于；①當(dāng)時，此時最大；由于，故，故②當(dāng)時，故③當(dāng)時，；，故④當(dāng)時，故，⑤當(dāng)時，開口向上，對稱軸，故單調(diào)遞增，故，則綜上所述，.【點睛】關(guān)鍵點睛：理解題中所給的定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)鍵.22
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