【正文】 到圓的自傳周數(shù)： ⊙O 在三邊運(yùn)動(dòng)時(shí)自轉(zhuǎn)周數(shù)： 6π247。 【分析】 ∵ 動(dòng)點(diǎn) Q從 B點(diǎn)出發(fā)，以每秒 2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 BC→CD 方向運(yùn)動(dòng)， ∴ 點(diǎn) Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) C的時(shí)間為 4247。 【分析】 ①0≤x≤4 時(shí)， y=S△ABD ﹣ S△APQ =12 179。 16. （ 2020山東濟(jì)南 3分） 如圖， ∠MON=90176。PB+ 12 179。 【分析】 如圖，連接 PQ，作 PE⊥AB 垂足為 E， ∵ 過(guò) Q作 QM⊥PA 于 M， QN⊥PB 于 N， ∴S △PAB =12 PE179。 因此，觀察所給選項(xiàng)，只有 C符合。 【分析】 ∵ 四個(gè)全等的小平行四邊形對(duì)稱(chēng)中心分別在 □ ABCD的頂點(diǎn)上， ∴ 陰影部分的面積的和等于一個(gè)小平行四邊形的面積。 11. （ 2020遼寧鞍山 3分） 如 圖，在直角梯形 ABCD中， AD∥BC ， ∠A=90176。 ∴ 四邊形 CEDF的面積不隨點(diǎn) E位置的改變而發(fā)生變化。 又 ∵E 、 F分別為 AC、 BC中點(diǎn)， AC=BC， ∴ 四邊形 CEDF是菱形。 ∴ED=DF ， ∠CDF=∠EDA 。故選 C。 ∴ 當(dāng)線段 AB最短時(shí)，點(diǎn) B的坐標(biāo)為（－ 12 ，－ 12 ）。 【考點(diǎn)】 一次函數(shù)的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)。 ① 當(dāng) 0≤x≤3 時(shí)，即點(diǎn) P在線段 AB上時(shí)， AP=x， PD=3 x2? （ 0≤x≤3 ）。 此時(shí)， y關(guān)于 x的函數(shù)圖象是直線。 ∴ 2E O F 1 1 4 2y = S O F E H x x x2 2 5 5? ? ? ? ? ? ? ?。 ∴ 根據(jù)勾股定理，得 OA=5。 易得，四邊形 PDCE是矩形， ∴CE=PD= t ，即 CE=QE= t。 【考點(diǎn)】 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)，翻折對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形。 ∵∠APB=∠BOD=90176。 【分析】 連接 NE，設(shè)圓 N半徑為 r， ON=x，則 OD=r﹣ x， OC=r+x， ∵ 以 M（﹣ 5， 0）為圓心、 4為半徑的圓與 x軸交于 A． B兩點(diǎn)， ∴OA=4+5=9 ， 0B=5﹣ 4=1。 3. （ 2020浙江 溫州 4分） 如圖，在 △ABC 中， ∠C=90176。 【考點(diǎn)】 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象。 ，設(shè) OP= x，則 △PAB 的面積 y關(guān)于 x的函數(shù)圖像大致是【 】 【答案】 D。 ∴ △PAB 的面積 y關(guān)于 x的函數(shù)圖像是經(jīng) 過(guò)（ 2， 0）的拋物線在 0≤x≤2 的部分。 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P在 C→A 上時(shí)，函數(shù) y隨 x的增大而減小。故選 C。 ， ∠ODB+∠OBD=90176。 故選 C。 ∵∠C=90176。 【考點(diǎn)】 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，拋物線和直線的性質(zhì)。 ∴△EHO∽△AGO 。 （ 3）當(dāng)點(diǎn) E在 DC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) F在點(diǎn) C停止時(shí)，如圖。 【分析】 如圖，過(guò)點(diǎn) C作 CD垂直 AB于點(diǎn) D，則 ∵ 正 △ABC 的邊長(zhǎng)為 3， ∴∠A=∠B=∠C=60176。符合此 條件的圖象為 C。 ∵ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 1， 0）， ∴OC=CB′= 12 OA=12 179。 可見(jiàn)， △ACP 的面積 S都是關(guān)于 t的一次函數(shù)關(guān)系式。 ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠DCB=∠A=45176。 故此結(jié)論正確。 由 ① ，知 △DFE 是等腰直角三角形， ∴DE=DF 。 故此結(jié)論正確。故選 B。 【考點(diǎn)】 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象， 菱形的性質(zhì)， 銳角三角函數(shù)定義， 特殊角的三角函數(shù)值 。 故選 B。 ∵ 矩形 ABCD中， P為 CD中點(diǎn)， ∴PA=PB 。 ∵PE=AD ， ∴PB ， AB， PB都為定值。故選 A。故選 B。故選 D。 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 14 20. （ 2020廣西 來(lái)賓 3分） 如圖，已知線段 OA交 ⊙O 于點(diǎn) B，且 OB=AB，點(diǎn) P是 ⊙O 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么∠OAP 的最大值是【 】 A． 30176。 ∵OB=AB ， OB= O P′ ， ∴OA=2 O P′ 。觀察四個(gè)選項(xiàng)，滿(mǎn)足條件的是選項(xiàng) A。 。 ∵ 點(diǎn) E以 2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)， ∴t ＝ 1s或 3s。 綜上所述，當(dāng) t的值為 74 或 94 s時(shí)， △BEF 是直角三角形。 【分析】 分別判斷點(diǎn) P在 AB、在 BC上分別運(yùn)動(dòng)時(shí)， △APD 的面積 s（ cm2）的變化情況用排它法求解即可： 點(diǎn) P在 AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)， △APD 的面積 S將隨著時(shí)間的增多而不斷增大，可排除 B； 點(diǎn) P在 BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)， △APD 的面積 s隨著時(shí)間的增多而不再變化，可排除 A和 C。 ∴ 當(dāng) AB為梯形的底時(shí)，點(diǎn) P的橫坐標(biāo)是： 233 。 【考點(diǎn)】 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理。 ∴DF=AD － AE－ EF=6－ 1－ 2=3。 ， DC＝ 2x2 ， CE＝ 2(2 x)2 － 。 【分析】 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，將運(yùn)動(dòng)路徑分為三部分： OO1， O1O2 ， O2O3，分別計(jì)算出各部分的長(zhǎng)再相加即可： 圓心 O運(yùn)動(dòng)路徑 如圖： ∵OO 1=AB=πr ； O1O2 = 90 r 1 r180 2? ?? ； O2O3=BC=1r2? ， ∴ 圓心 O運(yùn)動(dòng)的路程是 πr+ 1r2? +1r2? =2πr 。 ∴ME=MN 。 【分析】 根據(jù)圖（ 2）可知，當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)點(diǎn) E時(shí)點(diǎn) Q到達(dá) 點(diǎn) C， ∵ 點(diǎn) P、 Q的運(yùn)動(dòng)的速度都是 1cm/秒， ∴BC=BE=5 。 ∴PF=PBsin∠PBF= 45 t。 綜上所述，正確的有 ①③④ 。 ∴AH∥PF ， BH∥PE 。 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 23 又 ∵OB=2 ， ∴ 22 2 2 1 1 5O D = O B B D 222??? ? ? ?????。 過(guò) D作 DF⊥OE ，垂足為點(diǎn) F。 （ 3）由 BD=x，可知 2OD 4 x??，由于 ∠1=∠2 ， ∠3=∠4 ，所以 ∠2+∠3=45176。 ∴ 直線 AC的解析式為 y=3x+3。 ∴Rt△AOC∽R(shí)t△AFB 。 設(shè)直線 B′D 的解析式為 y=k2x+b2（ k2≠0 ），則 2222k +b =421 12k +b =55??????，解得 224k=1348b=13???????。用待定系數(shù)法，可求得直線 AC的解析式。 3. （ 2020廣東梅州 11分） 如圖，矩形 OABC中， A（ 6， 0）、 C（ 0， 2 ）、 D（ 0， 3 ），射線 l過(guò)點(diǎn) D且與 x軸平行，點(diǎn) P、 Q分別是 l和 x軸正半軸上動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足 ∠PQO=60176。 當(dāng) 5＜ x≤9 時(shí)，如圖 3， 12S B E O A O C 3 12 x2323= x 12 33? ? ? ? ??? （ ） （ ）。 ， D（ 0， 3 3 ）， ∴PE=3 3 。 ， ∴ 點(diǎn) N與 Q重合。 ∴KG=3 ﹣ =， AG= 12 AN=。 ∴s= 12 m2（ 0＜ m＜ 9）。 （ 2）直線 l∥BC ，可得出 △AED∽△ABC ，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關(guān)于 s、 m的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)題目條件：點(diǎn) E與點(diǎn) A、 B不重合，可確定 m的取值范圍。 ∴ 2M N A 1 1 4 2S A M N C 6 t t t 3 62 2 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ）。 ③ 當(dāng) AM=AN時(shí)， 6﹣ t=53 t，即 t=94 。由于 △MNA 的腰和底不確定，若該三角形是等腰三角形，可分三種情況討論： ①M(fèi)N=NA 、 ②MN=MA 、 ③NA=MA ；直接根據(jù)等量關(guān)系列方程求解用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 32 即可。 ， ∠CBE=30176。 要使 △ADF 與 △DEF 相似，則 △ADF 中必有一個(gè)角為直角。 ∴t 2=1。 ∴ 此時(shí) t不存在。 （ 2） ① 如圖 2所示， △ADF 與 △DEF 相似，包括三種情況，需要分類(lèi)討論： （ I）若 ∠ADF=90176。 ∵F （ t， 3－ t2）， ∴EF =3－（ 3－ t2） =t2。 7. （ 2020浙江 紹興 14分） 如圖，矩形 OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，連接 AC，拋物線 2y x 4x 2? ? ? 經(jīng)過(guò) A，B兩點(diǎn)。 （ 2） ① 由題意知： A點(diǎn)移動(dòng)路程為 AP=t， Q點(diǎn)移動(dòng)路程為 7（ t－ 1） =7 t － 7。 ① 當(dāng) PQ⊥AC 時(shí)，求 t的值； ② 當(dāng) PQ∥AC 時(shí)，對(duì)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn) H， ∠HOQ ＞ ∠POQ ，求點(diǎn) H的縱坐標(biāo)的取值范圍。 由 EE′≤BE ，得 2t2≤3 ，解得 6t 2? 。 （ II）若 ∠ADF=90176。 ， ∴∠DAF≠90176。 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 33 此時(shí) A D 2 3 D F 22 = 2D E E F 13? ? ? ， ∴ AD DF=DE EF。 ， ∠EDF=120176。 ∴EC= 12 BC= 3 ， DE=3 。 ，得 △FE′C′ ，當(dāng) △FE′C′ 落在 x 軸與拋物線在 x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時(shí)，求 t的取值范圍．（寫(xiě)出 答案即可） 【答案】 解：（ 1）由題意得 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為（－ 3 ， 0）， CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 3）， 分別代入 y=ax2+b，得 ? ?2 3 a+b=0b3? ??????，解得， a= 1b3????? 。 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，二次函數(shù)的最值，等腰 三角形的性質(zhì)。 （ 3）在 Rt△NCA 中， AN=53 t， NC=AN?sin∠BAO= 5 4 4t = t3 5 3? ， AC=AN?cos∠BAO=t 。 ② 過(guò) E做 BC的垂線 EF，這個(gè)垂線段的長(zhǎng)即為與 BC相切的 ⊙E 的半徑，可根據(jù)相似三角形 △BEF 、△BCO 得到的相關(guān)比例線段求得該半徑的值，由此得解。 ∴△CDE 的最大面積為 818 ， 此時(shí)， AE=m=92 ， BE=AB﹣ AE=92 。 ∴m= 2。 ∴ 此時(shí) m=0。 ∴OE=OA ﹣ AE=6﹣ 3=3， ∴ 點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 3， 3 3 ）。 綜上所述， S與 x的函數(shù)關(guān)系式為： ? ?? ?? ?? ?243x 4 3 0 x 333 1 3 3 3x x 3 x 52 3 2S23x 1 2 3 5 x 935 4 3x9x?? ? ????? ? ? ???? ?? ? ? ??????。 ②30 。 （ 2）由于點(diǎn) P 在 x軸上運(yùn)動(dòng)，故由平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)求得點(diǎn) Q的坐標(biāo)。D的解析式為： 4 48y= x+13 13 。 由 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）， C（ 0， 3）得 OA=1， OB=3， OC=3， ∴AC= 10 ， AB=4。 （ 2）拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn) Q。 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 24 ∵ 22A B = O B +O A 2 2?，點(diǎn) C是弧 AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A、 B重合）， ∴ 0 x 2 。 由 △BOD∽△EDF ，得 BD OD=EF DF ，即 22x 4 x=EF 4x2??，解得 EF= 12x。 如圖，連接 AB，則 22A B = O B +O A 2 2?。 ∴EF 與 HP互相平分。 【考點(diǎn)】 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。故結(jié)論 ③ 正確。故結(jié)論 ① 正確。 又 ∵CM+MN 有最小值， ∴ 當(dāng) CE是點(diǎn) C到直 線 AB的距離時(shí)， CE取最小值。 ， BD平分 ∠ABC ， M、 N分別是 BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則 CM+MN的最小值是 ▲ 。 。 ∵ 動(dòng)點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度是 1cm/s， ∴ 點(diǎn) P從開(kāi)始移動(dòng)到停止移動(dòng)一共用了（ 4+23） 247。 ∵ 動(dòng)點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)速度是 1cm/s， ∴AB=2 ， BC=2。 ∴BP∥y 軸 。 二 、 填空 題 1. （ 2020浙江 義烏 4分） 如圖，已知點(diǎn) A（ 0， 2）、 B（ ， 2）、 C（ 0， 4），過(guò)點(diǎn) C向右作平行于 x軸的射線，點(diǎn) P是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接 AP，以 AP為邊在其左側(cè)作等邊 △APQ ，連接 PB、 BA．若四邊形 ABPQ為梯形，則： （ 1）當(dāng) AB為梯形的底時(shí)，點(diǎn) P的橫坐標(biāo)是 ▲ ； （ 2）當(dāng) AB為梯形的腰時(shí)，點(diǎn) P的橫坐標(biāo)是 ▲ 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 17 【答案】 233 ， 23。 23. （ 2020黑龍江