【正文】 BA ?? )( 為恰有 2個(gè)元素的集合？說(shuō)明理由，若改為 3 個(gè)元素集合，結(jié)論如何？ 答案： 因?yàn)椋?A∪ B） ∩C=（ A∩C） ∪ （ B∩C），而 A∩C， B∩C分別為方程組??? ?? ?? 1122 yxyax ①②（ Ⅰ ）與??? ?? ?? 1122 yxayx ③④ （ Ⅱ ）的解集。由于對(duì)任意 k、 i∈ P且 k≠i，11??ik是無(wú)理數(shù)，則對(duì)任意的 k k2∈ P和正整數(shù) m m2， 11 2211 ??? kmkm當(dāng)且僅當(dāng) m1=m2， k1=k2。 . 來(lái)源： 09 年北京海淀月考一 題型：解答題，難度：容易 設(shè) },{ 22 ZyxyxaaM ???? ，求證： （ 1） )(,12 ZkMk ??? ； （ 2） )(,24 ZkMk ??? ； （ 3）若 MqMp ?? , ，則 .Mpq? 答案： （ 1）因?yàn)?Zkk ??1, ，且 22 )1(12 ???? kkk ，所以 .12 Mk ?? （ 2）假設(shè) )(24 ZkMk ??? ，則存在 Zyx ?, ，使 2224 yxk ??? ，由于 yx? 和yx? 有相同的奇偶性，所以 ))((22 yxyxyx ???? 是奇數(shù)或 4 的倍數(shù)，不可能等于24 ?k ，假設(shè)不成立，所以 .24 Mk ?? （ 3）設(shè) Zbayxbaqyxp ????? , 2222 ，則 ))(( 2222 bayxpq ??? 22222222 aybxbyaa ???? Myaxbybxa ????? 22 )()( （因?yàn)?ZyaxbZyaxa ???? , ）。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題一 題型：解答題，難度：較難 判斷以下命題是否正確：設(shè) A， B 是平面上兩個(gè)點(diǎn)集， }),{( 222 ryxyxC r ??? ，若對(duì)任何 0?r ，都有 BCAC rr ?? ? ，則必有 BA? ，證明你的結(jié)論。 由于 A 是一個(gè) 無(wú)窮集，現(xiàn)將 A中的元素按從小到大的順序排成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列。 在（ Ⅰ ）中將 ① 代入 ② 消去 y 得（ 1ax） 2+x2=1. 即（ a2+1） x22ax=0， 所以 x=0 或 x= 122?aa。 答案： 首先，在 2， 3， 4，?， n+1中能被 2 或 3或除的有 ???????? ???????? ???????? ? 6 13 12 1 nnn個(gè)，記為 g(n)，其中任意 3 個(gè)中必有 2 個(gè)不互質(zhì)，所以 f(n)g(n)。 （ 3）若 r=6，從 m, m+1 中的奇數(shù)開(kāi)始連續(xù) 6個(gè)整數(shù)為一組，最后余下以奇數(shù)開(kāi)頭的至少 5 個(gè)整數(shù)，連同第一個(gè)數(shù)（如果第一個(gè)數(shù)為偶數(shù)）作為一組，共分 k+1組。所以 m≥ 56. 另一方面，若 m=56，則對(duì) A的任意分劃 A1， A2，?， A14，數(shù) 42， 43，?， 56 中必有兩個(gè)數(shù)屬于同一個(gè) A，取此二數(shù)為 a 和 b，則 42≤ ab≤ 56=34 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題一 題型：解答題，難度：中檔 集合 A和 B 各含有 12個(gè)元素， BA? 含有 4 個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下列條件的集合 C的個(gè)數(shù)： 1） BAC ?? 且 C 中含有 3 個(gè)元素； 2） ??AC? 。 答案： 因?yàn)?1+2+…+10=55120=12345 ，所以集合 C 至多有 4 個(gè)元素，下面對(duì) |C|分 4 種情況討論。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題一 題型：解答題，難度：較難 集合 S={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 0}的若干個(gè)五元子集滿足： S 中的任何兩個(gè)元素至多出現(xiàn)在兩個(gè)不同的五元子集中，問(wèn)：至多有多少個(gè)五元子集？ 答案： 假設(shè)有 9 個(gè)五元子集，重復(fù)計(jì)數(shù)共 59=45 個(gè)元素。 任取 x∈ S1，由于 0∈ S2，故 x0=x∈ S3，所以 21 SS ? ，同理 13 SS ? ，故 31 SS ? 。 答案： 設(shè)有 a,b∈ S滿足 (a+b)|ab，記 c=(a, b)，于是 a=ca1, b=cb1，其中 a1, b1∈ N+且有（ a1,b1）=1, a1? b1，不妨設(shè) a1b1。因?yàn)?|T|=38，所以所求最小自然數(shù) k≥ 39. 另一方面，下列 12 個(gè)滿足題中要求的數(shù)對(duì)互不相交：（ 6， 3），（ 12， 4），（ 20， 5），（ 42，7），（ 24， 8），（ 18， 9），（ 40， 10），（ 35， 14），（ 30， 15），（ 48， 16），（ 28， 21），（ 45， 36），對(duì)于 S 中任一 39 元子集 R，它只比 S少 11 個(gè)元素，而這 11 個(gè)元素至多屬于上述 12 個(gè)數(shù)對(duì)中的 11 個(gè)，因此必有 12 對(duì)中的 1 對(duì)屬于 R。設(shè) T 為這樣的 i組成的集合，易知 s中有 220C 對(duì)（ b,c）滿足 bc，有 20 對(duì)（ b,c）滿足 b=c,所以 ?? ???Ti i Cs 21020220 ，于是? ?? ? ???Ti Ti iii sss )55()1(21 =5（ 210201）。 事實(shí)上，對(duì)每個(gè) Fi∈ M，考慮它在 M 中的朋友數(shù)，所有這 k 個(gè) Fi的這些朋友數(shù)之和為偶數(shù)（因?yàn)榕笥咽窍嗷サ模?，而?duì) A， Fi而言，其公共朋友數(shù)為奇數(shù)，故每個(gè) Fi的這樣的朋友數(shù)為奇數(shù)，故 k 為偶數(shù)。amp。 下面來(lái)做滿足題設(shè)的子集族。 答案： 先證 MBA ?)( ? ，若 )( BAx ?? ，因?yàn)?BAMA ?? ? ，所以 MxMAx ?? ,? ，所以 MBA ?)( ? ； 再證 )( BAM ?? ，若 Mx? ，則 .BAMBAx ??? ?? 1）若 Ax? ，則BAMAx ?? ?? ； 2）若 Bx? ，則 BAMBx ?? ?? 。（ 1）若 0?b ，則④不成立；（ 2）若 1?b ，則④仍不成立；（ 3）若 2?b ，由⑤式得 4)1( 2 ??k ，所以 1?k 或 2，又當(dāng) 2?k 時(shí)④式不成立。 ia 必各不相同，但只能是 2， 3， 4， 5， 6 這 5 個(gè)數(shù)，這不可能，所以 .4?k 20 個(gè) iA 中， B 中的數(shù)有 40 個(gè)，因此至少是 10 個(gè)不同的，所以 16?n 。 （?。┤?1,2 )1(1 ???? ? nnn aanna，考慮 2?na ，有 22 ??? nn aa 或22 aaa nn ??? ，即 22?a ，設(shè) 22 ??? nn aa ，則 121 ??? ??? nnnn aaaa ，導(dǎo)致矛盾，故只有 .22?a 考慮 3?na ，有 23 ??? nn aa 或 33 aaa nn ??? ，即 33?a ，設(shè) 23 ??? nn aa ，則0221 2 aaaa nn ???? ?? ，推出矛盾，設(shè) 33?a ，則 231 1 aaaa nn ???? ? ，又推出矛盾， 所以 4,22 ??? naan 故當(dāng) 5?n 時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。由題目條件可知每相鄰兩個(gè)數(shù)至多有一個(gè)屬于 S，將這 11 個(gè)數(shù)按連續(xù)兩個(gè)為一組，分成 6 組，其中一組只有一個(gè)數(shù)，若 S 含有這11 個(gè)數(shù)中至少 6 個(gè)，則必有兩個(gè)數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 個(gè)數(shù)。 . 來(lái)源： 09 年高考湖南卷 題型：填空題，難度：中檔 (文）若 {U nn? 是小于 9 的正整數(shù) } ， {A n U n?? 是奇數(shù) } ， {B n U n?? 是 3的倍數(shù) } ，則 ()U AB?240。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題一 題型：填空題，難度：中檔 設(shè)集合 }1995,3,2,1{ ??M ，集合 A滿足： MA? ，且當(dāng) Ax? 時(shí)， Ax?15 ，則A中元素最多有 ___________個(gè)。 答案： 首先 }2,1{?M ，若 0?a ，則 MN ??? ，若 0?a ，則 Max ??? 1 ，所以 11??a或 21??a ，所以 1??a 或 21??a ，所以 }21,1,0{ ???P 。又 0?y ，所以 0?x ，所以 yy ??2 。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題一 題型：填空題，難度：中檔 集合 }3,2,1{?B 的非空真子集有 ___________個(gè)。 答案： 因?yàn)?Aa? ，所以 113 ???aa ，所以 0)1( 2 ??aa ，所以 10 ?? 或a 。 由題設(shè)， k 與 15k(k=9,10,…,133) 這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不屬于 A，所以至少有 125個(gè)數(shù)不屬于 A，即 n(A)≤1995125=1870. 另一方面，可取 A=（ 1， 2， … ， 8） ∪ {134， 135， … ， 1995}， A滿足題設(shè)條件，此時(shí)n(A)= n（ A）的最大值就是 1870。 解析 2 {1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 , 7, 8}U ? ，而 ( ) { | ( ) { 2 , 4 , 8 }UUA B n U n A B? ? ?痧 來(lái)源： 09 年高考重慶卷 題型： 填空題，難度：容易 若 ? ?3A x R x? ? ?， ? ?21xB x R? ? ?，則 AB? . 答案： （ 0， 3） 【解析】因?yàn)?? ? ? ?| 3 3 , | 0 ,A x x B x x? ? ? ? ? ?所以 (0,3)AB?I 來(lái)源： 09 年高考重慶卷 題型：填空題，難度：容易 (文 )設(shè)全集 ? ?1lg|* ????? xNxBAU ，若? ?4,3,2,1,0,12| ????? nnmmBCA U ，則集合 B=__________. 答案： {2， 4， 6， 8} 【解析】 }9,8,7,6,5,4,3,2,1{??? BAU }9,7,5,3,1{?? BCA U }8,6,4,2{?B 來(lái)源： 09 年高考天津卷 題型：填空題，難度：中檔 (文） 某班有 36 名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外探究小組，每名同學(xué)至多參加兩個(gè)小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為 26， 15， 13，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理小組的有 6 人，同時(shí)參加物理和化學(xué)小組的有 4 人，則同時(shí)參加數(shù) 學(xué)和化學(xué)小組的有 人。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題一 題型：解答題，難度：較難 },023{ 2 ???? xxxA },01{ 2 ???? aaxxxB 02{ 2 ???? mxxxC }，若CCAABA ?? ?? , ，求 .,ma 答案： 依題設(shè)， }2,1{?A ，再由 012 ???? aaxx 解得 1??ax 或 1?x ， 因?yàn)?ABA ?? ，所以 AB? ，所以 Aa ??1 ，所以 11??a 或 2，所以 2?a 或 3?？紤] 3?na ，有23 ??? nn aa 或 ??? nn aa 3 3a ，即 3a =3，于是 123 ???? nn aaaa ，矛盾。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題一 題型：解答題，難度：較難 給定集合 },3,2,1{ nI ?? 的 k 個(gè)子集： kAAA , 21 ? ，滿足任何兩個(gè)子集的交集非空，并且再添加 I 的任何一個(gè)其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求 k 的值。 來(lái)源： 08 年數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題一 題型：解答題，難度：較難 集合 A， B， C 是 I={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 0}的子集，（ 1）若 IBA ?? ，求有序集合對(duì)（ A， B）的個(gè)數(shù)；（ 2）求 I 的非空真子集的個(gè)數(shù)。 答案： 假設(shè)存在這樣的 Nbk ?, ，則 ??CBA ?? )( ，所以 ???? ??? ??