【正文】 跑，甲每分鐘跑 60 米，乙每分鐘跑 50 米。因為 甲每到 一個地方就要休息 1 秒鐘 ，所以可以這么說，甲到一個站所需的時間是 4 秒 ，而乙只要 3 秒 ，所以在 t秒 的時候他們相遇了。如果它們從同一點同時出發(fā)沿相反方向行駛，那么每隔 131 分鐘相遇一次。行程問題 （ 包括 相遇問題，追及問題） 一直 都是考察的重點。所以 | 1| | 2 1|xx? ? ? =x12x+1=3x= x=1/ x 不成立。也 就是 說。且 b,c 都 能被 3 整除 ，所以 a 也 能被 3整除 。 【 選自第 23 屆 初一 希 望杯試題 】 這題 的解題思路可以從 證明 a,b,c 都 能被 3 整除 入 手 。? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?22222221 4 1 1 112 2 1 1 2 11 2 2 5aaa a a aaa a a a a aa a a a??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 例 a,b,c 滿足 a b a b c3 , 4 , 5 .b c c aa b b c c a a b b c c a? ? ?? ? ? ? ?則 的 值是 【 選自第 23 初二希望杯試題 】 這類題 明顯有一個特點就是 式子 的倒數(shù)很好處理。 那么21 1 2 62 6 2 6 2 62426 xaxx ?? ? ? ? ???。所以 要么 用 x 代替 y 帶入 結(jié)果的式子中，但這不可行。 3*6=18， 對應(yīng)的就是 4*5= x=4,同理 ，對應(yīng) 8,13,18 的 x 為 10,16,22.因為 x 明顯的 x 只有 這 4 中 。 那么 50x+60y= 122 56 xy ??.就是 要求。那么 甲 買了 1 ? .剩下 1 ? 。乙這時候以及騎 了 18+6=24 分鐘 。初一 1式 基本上每年都有這方面的題目。在 求解 這些問題的時候往往是通過列方程去求解的。所以 無解 。然后對于方程 2211xaxa? ? ???可以 稍加處理得221111xaxa? ? ? ? ???。 例 2．用 ??x 表示不大于 x 的最大整數(shù)，如 ? ? ? ?4 1 4 2 5 3? ? ? ?. ， . ．則方程 ? ?6 3 7 0xx? ? ?的解是 ______________或 ______________． 【 選自第 21 屆 初 二 希望杯試題 】 解決這道 題目的關(guān)鍵就是能把 x 的 范圍定下來。所以 就 不把它歸到代數(shù)試題的研究的。 1x? ,所以 當(dāng) 21x??，1 2 1x x x? ? ? ? ?=3+ 1x?? 當(dāng) x2 時 。當(dāng) 1x =21時 ， 1 100 xx?（ ） *50=7050， 當(dāng) 1x =20 時 ， 1 100 xx?（ ） *50= 1x 最大 的值為 20。 觀察 一下 就可以的只要 1x 除以 20 所得 的值有 *.5 就 滿足 條件 了。所以 第一個 數(shù)字是 1， 再后面是 2， 剩下三個 就是 8,9,9 所以 是 112899 ： 例 5Let 20xx1 ??????? ? xyx， x and y are both positive integers， then the largest value of yx? is ， the smallest value of yx? is 【 選自第 24 屆 初 二 希望杯試題 】 易得 xy= 20xx=2*2* x 與 y 就是 在這 3 個 中湊。而 18=3*3*2。 所以 2+1+8+8+b(8+a+c)= 11+bac 是 11 的 倍數(shù)。實際 上 出的時候都不難，所以 在 預(yù)測上也偏于不會太難的題目作為 擴展 。 例如 例 a 十 x2=20xx， b＋ x2=20xx,c＋ x2=20xx，且 abc=24，則cbaabcacbbca 111 ????? =______________.【 選自第 23 屆 初 二 希望杯試題 】 由 條件 可知 a,b,c 是 聯(lián)系的三個 遞增 的自然數(shù)。這是 最后 一道 ， 所以題目會較難。所以 可以得到 一個2 元 一次方程組 ? ( 2 3 4 ) 0( 2 a 3 b 4 c 5) 0x a b cy ? ? ? ?? ? ? ? 。 初二 1 試 有 21 屆 16， 20 題， 23 屆 第3 題 。這種 涉及 到一個規(guī)律 ， 只要能利用 1 1 1 1(n 2 ) 2 2n n n??????????就 很容易了。 ??????? 122222 220xx20xx20xx ?20xx2 （ 20xx2 1） =1. 但是沒學(xué)過 等差數(shù)列也可以找出一般的規(guī)律：1 1 12 2 2 ( 2 1 ) 2n n n n? ? ?? ? ? ?。從 分子 式子來看，加減號交叉出現(xiàn)。似乎 是 考驗學(xué)生的仔細 ， 敏銳度。 所在在對數(shù)與式做研究時可以考慮從以下幾個方面去討論。 初一 和 初二 2 試 代數(shù)試 題 的分類研究 。根據(jù) 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (20xx 年版 )》 對義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程分為“數(shù)與代數(shù)”，“空間與圖形”，“統(tǒng)計與概率”，“實踐與綜合應(yīng)用”四個領(lǐng)域的規(guī)定。不管怎么說， 這樣的數(shù)據(jù)已經(jīng)充分說明了在初一這個階段代數(shù)試題在“希望初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 2 杯”中的分量和價值。有初試和復(fù)試（即 1試和 2試）。不僅僅是中考題。 它的參賽年 級 涉及小學(xué)四年級到六年級。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） I 各專業(yè)完整優(yōu)秀畢業(yè)論文設(shè)計圖紙 編號 ： 本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 題目： （中文） 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 （英文） a Study of junior high school “hope cup” algebra examination 學(xué) 院 理學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級 10 數(shù)基 學(xué) 號 106160031 姓 名 指導(dǎo)教師 完成日期 20xx 年 4 月 15 日 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 II 誠 信 承 諾 我謹(jǐn)在此承諾：本人所寫的畢業(yè)論文《 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 》均系本人獨立完成，沒有抄襲行為，凡涉及其他作者的觀點和材料，均作了注釋，若有不實，后果由本人承擔(dān)。初中 和 高一和高二。在丁柯丹，胡奕偉的《中學(xué) 數(shù)學(xué)競賽中的初等數(shù)論問題 — 以希望杯初中數(shù)學(xué)競賽試題為例》一文，就是以希望杯中的 1622屆試題中出現(xiàn)數(shù)論內(nèi)容的比例和具體實例的分析作為引證去述說。可以看到一個數(shù)據(jù)：初一的“希望杯”競賽， 1試中代數(shù)試題（涉及到代數(shù)運算的運算）的比例最低大概在 2/3左右。初二的試題中， 21屆 1試有 15道關(guān)于代數(shù)的。而且初中階段的“數(shù)與代數(shù)”是《義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（適用修訂版）》中“代數(shù)”內(nèi)容的擴展。 研究方法 上網(wǎng)查閱近幾年的希望杯試題，結(jié)合查考文獻和資料，并在老師同 伴 的幫助下 搜集各種需要代數(shù)信息，進行分類，整理，解決，歸納 。 數(shù)與式 問題的分類 數(shù)與式的運算包含了有理數(shù)的運算，還有有理式的運算（包括，整式，分式的運算），還有科學(xué)計數(shù)。沒什么 難點可言 。而且是跟平方搭干。 所以 原式 可以直接得出為 1. 這類試題 的推 廣很顯然：按冪的遞減方式做減法。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 5 . 式的 運算 之前 講過 代數(shù) 式 包 括有理式和 無理式 ，有理式包括整式和 分式 ，整式有多項式和單項式之分。 看 一道 有 代表性的題目 ： 例 a=20xx， b= 20xx? ，則 ??? ab3b2a 22 ； 【 選自第 22 屆 初 一 希望杯試題 】 能 化出 ??? ab3b2a 22 （ a+b） (a+b+b)。 得到 x+2y=6， 2x3y=10， 3x+4y=14。 化簡 ： 32 3 3 2 3 21 3 3 1( 2 1 ) 8 ( x 1 ) ( x ) 8 ( x 3 x 3 x 1 ) ( x x x )2 2 4 8xx ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 且 abc= a==3,c=的答案為 1/8. 還有 例 a， b 是實數(shù)，且 abba ????? 11 11 1 ，則 baab ????? 1111 的值時 【 選自第 24 屆 初 二 希望杯試題 】 重點 是知道 ba=b+1(a+1)。例 ： 1. 已知 x+3y+5z=0,2x+4y+7z= 2 2 22 2 2352 4 7x y zx y z?? 只要 用一個未知數(shù)代替其他兩個未知數(shù)就可以了。所以bac 是 11 的 倍數(shù)。 18能 除 盡或說能被除盡的話 ， 另一組必須要有 12 和 只有 12 和 6 能分解 出 2 個 3 的 質(zhì)因數(shù)。無疑 最大 值就是當(dāng) x=20xx， y=1 的 時候。而且 要是 1 2 3x x x??最大 ，即 12xx? 最大 。 但是這樣 的話就少了 就可以 把 最大的 51 個 數(shù)都加 要是最小的數(shù)加 1 的話 ，整個式子要加 只能從最大的數(shù)開始加，然后加次大的。明顯1 2 1 2 1 1x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?是 一個單調(diào)遞增的。 首先 我們 先看方程（ 方程組 ） 的 涉及到解的問題 例 312 ??? xx 的解是 或 ． 【 選自第 24 屆 初 二 希望杯試題 】 這道題 的難度相對應(yīng) 大 了。由題意可得： x1? [x] ? ? ? ? ?6 3 7 6 3 7 6 3 1 7x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?。 所以 就 可以找到還有一個答案就是 x1= 21a?? ， x= 31aa?? . 方程 的 判別 方程 的判別即在于 給定 條件判定 結(jié)論 的合理性。 關(guān)于 系數(shù) 的判別 例 3. 若以 x 為未知數(shù)的方程 x?2a?4=0 的根是負數(shù)，則 (A) (a?1)(a?2)0 (B) (a?1)(a?2)0 (C) (a?3)(a?4)0 (D) (a?3)(a?4)0 。 工程 問題 涉及 工程的問題不多。我們 選取 幾道典型的做研究 3 . 3 0 4( 0 ) ABB例 甲 乙 兩 人 沿 同 一 條 路 騎 自 行 車 勻 速 從 站 到 站 ， 甲 需 要 分 鐘 ， 乙 需 要 分 鐘如 果 乙 比 甲 早 出 發(fā) 5 分 鐘 去 站 ， 則 甲 出 發(fā) 后 經(jīng) 多 少 分 鐘 可 以 追 上 乙 。一共要 40 分鐘 。 那么乙買了1 1 10 .5 0 .5 0 .52 4 4xx??? ? ? ????? 。當(dāng) x 取哪些整數(shù)時， y 也是 整數(shù)。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 17 2 試 代數(shù) 試題研究 數(shù)與式 問題的分類 數(shù) 的運算 數(shù) 的運算涉及的題目不多。所以 考察 55xy? 。 明顯。所以 處理 條件 中 的三個式子。當(dāng) x=0 時 ， 代 數(shù) cbxax ??2 =c 能 被 3 整除 。所以a=3m,b=3n,c==3m*3n*3t= 被 27 整除 。實際上左右兩邊只有一個 式子 。當(dāng) 1x1/2 時 。還有 工程 問題和盈利問題。現(xiàn)在，它們從同一點同時出發(fā)，沿相同方向行駛，當(dāng)甲第一次追上乙時，乙已經(jīng)行駛了 4 圈，此時它們行駛了 分鐘。甲 實際上 在跑的時間只有 3t/4 秒。且 t? 24tk? ,所以 k 可以 取 1,2,3,4, 就是總共有 5 次 的時間到達同一站點?？梢?假設(shè) 甲的速度為 x， 乙的速度為 y， 那么這個環(huán)形軌道的周長 為 131（ x+y） .所以 根據(jù)后面說當(dāng)甲第一次追上乙 的 時候。又過了 5 分鐘， C 追上 分鐘， B 追上 A. 【 選自第 21 屆 初二希望杯試題 】 我們 可以做如下假設(shè)：在最開始的時候， A 到 B 的 距離跟 B 到 C 的