【正文】 垂線為 x軸， BD 為 y 軸， BA為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角 A﹣ BM﹣ C 的余弦值． 【解答】 證明：（ 1） ∵ AB=BD， ∠ A=45176。 AD=BD=3， CD=2，則四面體ABCD 的外界球的半徑為（ ） A． B． 2 C． 3 D． 12．已知函數(shù) f（ x）在 R 上的導(dǎo)函數(shù)為 f′（ x），若 f（ x） ＜ 2f′（ x）恒成立，且 f（ ln4） =2，則不等式 f（ x） ＞ e 的解集是（ ） A．（ ln2， +∞） B．（ 2ln2， +∞） C．（﹣ ∞， ln2） D．（﹣ ∞， 2ln2） 二、填空題：本大題共 4 個小題，每小題 5 分 .共 20 分 . 13．（ ） 6的展開式中，常數(shù)項為 ．（用數(shù)字作答） 14．若 a＞ b＞ c，且 a+2b+c=0，則 的取值范圍是 ． 15．定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足 f（ x+6） =f（ x）．當(dāng)﹣ 3≤ x＜ ﹣ 1 時，當(dāng) f（ x） =﹣（ x+2）2，當(dāng)﹣ 1≤ x＜ 3 時． f（ x） =x，則 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +…+f 如圖，正方形 ABCD 的邊長為 2， O 為 AD 的中點，射線 OP 從 OA 出發(fā)，繞著點 O 順時針方向旋轉(zhuǎn)至 OD，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記 ∠ AOP 為 x（ x∈ [0， π]）， OP 所經(jīng)過正方形 ABCD內(nèi)的區(qū)域（陰影部分）的面積 S=f（ x），那么對于函數(shù) f（ x）有以下三個結(jié)論： ①f（ ） = ； ②任意 x∈ [0， ]，都有 f（ ﹣ x） +f（ +x） =4； ③任意 x1， x2∈ （ ， π），且 x1≠ x2，都有 ＜ 0． 其中所有正確結(jié)論的序號是 ． 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17．設(shè)數(shù)列 {an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且 a1=3， a2+a3=36． （ 1）求數(shù)列 {an}的通項公式； （ 2）若數(shù)列 {bn}對任意的正整數(shù) n 都有 + + +…+ =2n+1，求 b1+b2+b3+…+b2021的值． 18．已知 a， b， c 分別為 △ ABC 內(nèi)角 A， B， C 的對邊， 且 c?cosA﹣ acosC= b． （ 1）其 的值； （ 2）若 tanA， tanB， tanC 成等差數(shù)列，求 的值． 19．已知平行四邊形 ABCD中， ∠ A=45176。 ∴ AB⊥ BD， 又 ∵ 平面 ABD⊥ 平面 BCD，且 BD 是平面 ABD 與平面 BCD 的交線， ∴ AB⊥ 面 BCD， ∵ CD?平面 BCD， ∴ AB⊥ CD． 解：（ 2）以 B 為原點，在平面 BCD 中過 B 作 BD 的垂線為 x軸， BD 為 y 軸， BA為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 B（ 0， 0， 0）， C（ 1， 1， 0）， D（ 0， 1， 0）， A（ 0， 0， 1）， M（ 0， ）， ， 面 ABM 的法向量為 =（ 1， 0， 0）， 設(shè)平面 BMC 的法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 x=1，得 =（ 1，﹣ 1， 1）， cos＜ ＞ = = = ， 觀察知二面角 A﹣ BM﹣ C 為鈍角， 故二面角 A﹣ BM﹣ C 的余弦值為﹣ ． 20．某校高一年級開設(shè) A， B， C， D， E五門選修課，每位同學(xué)須彼此獨立地選三門課程，其中甲同學(xué)必選 A課程，不選 B 課程，另從其余課程中隨機任選兩門課程．乙、 丙兩名同學(xué)從五門課程中隨機任選三門課程． （ Ⅰ ）求甲同學(xué)選中 C 課程且乙同學(xué)未選中 C 課程的概率； （ Ⅱ ）用 X 表示甲、乙、丙選中 C 課程的人數(shù)之和，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；離散型隨機變量及其分布列． 【分析】 （ Ⅰ ）設(shè)事件 A為 “甲同學(xué)選中 C 課程 ”，事件 B 為 “乙同學(xué)選中 C 課程 ”．求出 A，B 的概率，然后求解甲同學(xué)選中 C 課程且乙同學(xué)未選中 C 課程的概率． （ Ⅱ ） X 的可能取值為： 0， 1， 2， 3．求出概率，得到 X 為分布列，然后求解期望． 【解答】 （共 13 分） 解：（ Ⅰ ）設(shè)事件 A為 “甲同學(xué)選中 C 課程 ”，事件 B 為 “乙同學(xué)選中 C 課程 ”． 則 ， ． 因為事件 A與 B 相互獨立， 所以甲同學(xué)選中 C 課程且乙同學(xué)未選中 C 課程的概率為． … （ Ⅱ ）設(shè)事件 C 為 “丙同學(xué)選中 C 課程 ”． 則 ． X 的可能取值為： 0， 1， 2， 3． ． = ． = ． ． X 為分布列為： X 0 1 2 3 P ． … 21．函數(shù) f（ x） =axn（ 1﹣ x）（ x＞ 0， n∈ N*），當(dāng) n=﹣ 2 時， f（ x）的極大值為 ． （ 1）求 a 的值； （ 2）求證： f（ x） +lnx≤ 0； （ 3）求證： f（ x） ＜ ． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的對數(shù)，根據(jù) n=2 時， f（ x）的極大值為 ，得到 f（ ） =a? = ，解出即可； （ 2）問題轉(zhuǎn)化為證 xn（ 1﹣ x） +lnx≤ 0，設(shè) g（ x） =xn（ 1﹣ x） +lnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可； （ 3）求出 f（ x）的最大值，問題轉(zhuǎn)化為證明： ＜ ，通過取對數(shù)結(jié)合換元思想以及函數(shù)的單調(diào)性證明即可． 【解答】 解：（ 1） n=2 時， f（ x） =ax2（ 1﹣ x）， ∴ f′（ x） =ax（ 2﹣ 3x）， 令 f′（ x） =0 得： x=0 或 x= ， ∵ n=2 時， f（ x）的極大值為 ， 故 a＞ 0，且 f（ ） =a? = ，解得： a=1； （ 2）要證 f（ x） +lnx≤ 0，即證 xn（ 1﹣ x） +lnx≤ 0， 設(shè) g（ x） =xn（ 1﹣ x） +lnx，定義域是（ 0， +∞）， 則 g′（ x） = ， ∵ x＞ 0， ∴ x∈ （ 0， 1）時， g′（ x） ＞ 0， g（ x）遞增， x∈ （ 1， +∞）時， g′（ x） ＜ 0， g（ x）遞減， ∴ g（ x）的最大值是 g（ 1） =0， ∴ g（ x） ≤ 0 成立，命題得證； （ 3） ∵