【正文】 分別是多少？對(duì)照自然數(shù)的概念和連續(xù)自然數(shù)的性質(zhì)可以知道：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)和的平均數(shù)就是這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的中間那個(gè)數(shù)。辯證思維能力：聯(lián)系、發(fā)展變化、對(duì)立統(tǒng)一律、質(zhì)量互變律、否定之否定律。為了避免瞎猜，一定學(xué)會(huì)驗(yàn)證。比如，做一套衣服需要4米布，現(xiàn)有布31米，可以做多少套衣服？有學(xué)生這樣做：31247。應(yīng)當(dāng)通過(guò)實(shí)踐訓(xùn)練及其長(zhǎng)期體驗(yàn)積累，不斷提高自己的驗(yàn)證能力和逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的好習(xí)慣。對(duì)于（2）用最高位估計(jì)，把17看作18，把6。想一想，小剛的哪科成績(jī)最高？你能算出小剛的各科成績(jī)嗎？思路一：“放大”。放縮法靈活、巧妙，但有賴于知識(shí)的拓展能力及其想象能力。（2）熟悉典型材料，并能敏捷地聯(lián)想到所適用的典型，從而確定所需要的解題方法。典型法針對(duì)題目去聯(lián)想已經(jīng)解過(guò)的典型問(wèn)題的解題規(guī)律，從而找出解題思路的方法叫做典型法?！坝^察”的要求：第一、觀察要細(xì)致、準(zhǔn)確。（1）119；（2）137“學(xué)習(xí)要以探究為核心”，是新課程的基本理念之一。列表法清晰明了，便于分析比較、提示規(guī)律，也有利于記憶。思路是：鋸3段鋸了幾次，每次用幾分鐘，鋸6段鋸了幾次，需要多少分鐘。這樣可以有效地提高課堂教學(xué)效率，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)。比如：數(shù)學(xué)中的相遇問(wèn)題。它的思維基礎(chǔ)是具體形象，并從具體形象展開來(lái)的思維過(guò)程。它的思維目標(biāo)是解決實(shí)際問(wèn)題，并且在解決問(wèn)題當(dāng)中提高自身的思維能力。特別是一些數(shù)學(xué)概念，如果沒(méi)有實(shí)物演示，小學(xué)生就不能真正掌握。有的題目，圖畫出來(lái)了，結(jié)果也就出來(lái)的；有的題，圖畫好了，題意學(xué)生也就明白了；有的題，畫圖則可以幫助分析題意、啟迪思路，作為其他解法的輔助手段。圖甲占的面積大，圖乙所占面積小，所以“圖甲的面積比圖乙的面積大”是正確的。探索法按照一定方向，通過(guò)嘗試來(lái)摸索規(guī)律、探求解決問(wèn)題思路的方法叫做探究法。學(xué)生這時(shí)更感到奇怪，異口同聲地說(shuō)：“老師您快告訴我們吧，您是怎樣算的？”教師說(shuō)：“其實(shí)呀，有一位好朋友在暗中幫助老師，你們知道它是誰(shuí)嗎？想認(rèn)識(shí)它嗎？”于是引出所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容“比例尺”。巴浦洛夫說(shuō)：“應(yīng)當(dāng)先學(xué)會(huì)觀察，不學(xué)會(huì)觀察永遠(yuǎn)當(dāng)不了科學(xué)家。比如，在教學(xué)長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)時(shí)，要做到“有序”觀察：（1）面形狀、個(gè)數(shù)、面與面之間的關(guān)系；（2）棱棱的形成、條數(shù)、棱與棱之間的關(guān)系（相對(duì)的棱相等；相對(duì)的棱有四條；長(zhǎng)方體的棱可以分為三組）；（3）頂點(diǎn)頂點(diǎn)的形成、個(gè)數(shù)，認(rèn)識(shí)頂點(diǎn)的一個(gè)重要作用是引出長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的概念。例7已知爸爸比兒子大30歲，爸爸今年的年齡正好是兒子的7倍。甲乙兩隊(duì)原來(lái)各有多少人？這題目的技巧：調(diào)前、調(diào)后兩隊(duì)總?cè)藬?shù)沒(méi)變。12不是9的倍數(shù)，就把它放大2倍，得24，仍然不是9的倍數(shù)，放大3倍，得36，36是9的倍數(shù)，那么，12和9的最小公倍數(shù)就是36。放縮法有時(shí)運(yùn)用在估算和驗(yàn)算上。所以，總的足數(shù)縮小2倍后，雞和兔的總足數(shù)與它們的總只數(shù)相差數(shù)就是兔的只數(shù)。還可以把結(jié)果當(dāng)條件進(jìn)行逆向推算。牛頓曾說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?？陀^現(xiàn)實(shí)有其相對(duì)穩(wěn)定的一面，我們就可以采用形式思維的方式；客觀存在也有其不斷發(fā)展變化的一面，我們可以采用辯證思維的方式。對(duì)照法如何正確地理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念？小學(xué)數(shù)學(xué)常用的方法就是對(duì)照法。它體現(xiàn)的是由一般到特殊的演繹思維。(5)因?yàn)閿?shù)學(xué)的嚴(yán)密性，決定了比較必須要精細(xì)，往往一個(gè)字，一個(gè)符號(hào)就決定了比較結(jié)論的對(duì)或錯(cuò)。2=45（人）。1分析法把整體分解為部分，把復(fù)雜的事物分解為各個(gè)部分或要素，并對(duì)這些部分或要素進(jìn)行研究、推導(dǎo)的一種思維方法叫做分析法。計(jì)劃每天生產(chǎn)多少件已知，實(shí)際每天生產(chǎn)多少件，題中沒(méi)有告訴，還得求出來(lái)。兩個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，而和是偶數(shù)，顯然這兩個(gè)質(zhì)數(shù)中沒(méi)有2。這桶油重多少千克？這兩題用方程解就比較容易。排除法的邏輯原理是：任何事物都有其對(duì)立面，在有正確與錯(cuò)誤的多種結(jié)果中，一切錯(cuò)誤的結(jié)果都排除了，剩余的只能是正確的結(jié)果。例3判斷：（1）同一平面上兩條直線不平行，就一定相交。1化歸法通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，把問(wèn)題歸結(jié)到一類典型問(wèn)題來(lái)解題的方法叫做化歸法。這個(gè)方法的思維意義就在于，訓(xùn)練孩子對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的正確理解、牢固記憶、準(zhǔn)確辨識(shí)。必須在同一種關(guān)系下進(jìn)行比較，這是“比較”的基本條件。找聯(lián)系：每人種樹棵數(shù)變化了，種樹的總棵數(shù)也發(fā)生了變化。依據(jù)：總體都是由部分構(gòu)成的。要求實(shí)際每天生產(chǎn)多少件玩具，必須知道：實(shí)際生產(chǎn)多少天，和實(shí)際生產(chǎn)多少件，這兩個(gè)條件題中都已知。用綜合法解數(shù)學(xué)題時(shí)，通常把各個(gè)題知看作是部分，經(jīng)過(guò)對(duì)各部分相互之間內(nèi)在聯(lián)系一層層分析，逐步推導(dǎo)到題目要求，所以，綜合法的解題模式是執(zhí)因?qū)Ч?，也叫順推法。它們的差是小?0的合數(shù)嗎？這就是綜合法的思路。這桶油重多少千克？這兩題用方程解就比較容易。兩人合做要多少天完成？其實(shí)，把總工作量看作“1”，這個(gè)“1”就是參數(shù)，如果把總工作量看作“4……”都可以，只不過(guò)看作“1”運(yùn)算最方便。這和原來(lái)假定是質(zhì)數(shù)對(duì)立。計(jì)算一下，就能得出正確結(jié)果。例18：超市運(yùn)來(lái)馬鈴薯、西紅柿、豇豆三種蔬菜，馬鈴薯占25%，西紅柿和豇豆的重量比是4：5，已知豇豆比馬鈴薯多36千克，超市運(yùn)來(lái)西紅柿多少千克？需要把“西紅柿和豇豆的重量比4：5”化歸為“各占總重量的百分之幾”，也就是把比例應(yīng)用題化歸為分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。我們可以把商是幾就當(dāng)幾“份”來(lái)處理。解到這里，突然感覺(jué)現(xiàn)在小孩子學(xué)習(xí)任務(wù)真的很重了，想想我們這些60代的人在知識(shí)上也許已不能再去在小孩子面前充什么老師了，呵呵。平均數(shù)＝總份數(shù)例1：東方小學(xué)六年級(jí)同學(xué)分兩個(gè)組修補(bǔ)圖書。(5+4+11)=例要挖一條長(zhǎng)1455米的水渠，已經(jīng)挖了3天，平均每天挖285米，余下的每天挖300米。甲乙丙三人平均每人存款多少元？要求甲乙丙三人平均每人存款多少元，先要求得三人存款的總數(shù)。分配時(shí)，甲要22本，乙要23本，丙要30本。山南的山路長(zhǎng)269米，山北的路長(zhǎng)370米。=(260+370)2247。15=30人(203–185)25247。≈ 247。歸一應(yīng)用題的特點(diǎn)是先求出一份是多少。24(24+6)=240噸例張師傅計(jì)劃加工552個(gè)零件。［720247。65)–7=5人例用兩臺(tái)水泵抽水。5=小水泵6小時(shí)的抽水量相當(dāng)于大水泵幾小時(shí)的抽水量0．46=大水泵1小時(shí)能抽水多少立方米？624247。(247。(80–20)=600米例家具廠生產(chǎn)一批小農(nóng)具，原計(jì)劃每天生產(chǎn)120件，28天完成任務(wù)；實(shí)際每天多生產(chǎn)了20件，可以幾天完成任務(wù)？要求可以提前幾天，先要求出實(shí)際生產(chǎn)了多少天。4247。(30+3)=10天可以提前幾天完成？15–(4+10)=1天 15–［(1530–430)247。5天后又新來(lái)30人。(8+22)247?，F(xiàn)在雞和鴨的總只數(shù)：355960+100=3599只現(xiàn)在鴨的只數(shù)：(35991)247。用0代替這兩個(gè)數(shù)里的這些8和2，那么，所得的甲數(shù)是乙數(shù)的5倍。兩年各有多少人參加？由“今年的人數(shù)比去年的3倍少35人”，可以把去年的參加人數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，即一份的數(shù)。原來(lái)兩車隊(duì)各有客車多少輛？ 要求“原來(lái)兩車隊(duì)各有客車多少輛”，需要求“現(xiàn)在兩車隊(duì)各有客車多少輛”；要求“現(xiàn)在兩車隊(duì)各有客車多少輛”，要先求現(xiàn)在第一車隊(duì)比第二車隊(duì)的客車多多少輛。(642114)247。從甲箱取10只放入乙箱，兩箱的只數(shù)相等；如果從乙箱取15只放入甲箱，甲箱橘子的只數(shù)是乙箱的3倍。2＝大數(shù)（和差）247。要求原來(lái)甲班和乙班各有工作人員多少人，先要求現(xiàn)在甲班和乙班各有工作人員多少人？現(xiàn)在甲班有工作人員多少人?(94+12)247。3=164本 甲丙略例三輛汽車共運(yùn)磚9800塊，第一輛汽車比其余兩車運(yùn)的總數(shù)少1400塊，第二輛比第三輛汽車多運(yùn)200塊。丙：(23038)247。如果把1班的3名學(xué)生調(diào)到2班，兩班人數(shù)相等；如果把2班的1名學(xué)生調(diào)到3班，3班還比2班少3人。例小方今年11歲，他爸爸今年43歲，幾年以后，爸爸的年齡是小方年齡的3倍？ 因?yàn)樾》脚c爸爸的年齡差4311=32不變。今年甲乙兩人各幾歲？今年甲乙兩人年齡和為50歲，再過(guò)5年，兩人的年齡和是50+52=60歲?！案鶕?jù)兩個(gè)差求未知數(shù)”是指分析問(wèn)題的思考方法。室內(nèi)地面共有234平方米。乙每分鐘行68米，4分鐘能行684=272米。如果實(shí)際上再生產(chǎn) 2 天后話，還能生產(chǎn)(40+5)2=90臺(tái)，雙知比原計(jì)劃還多生產(chǎn)35臺(tái)，實(shí)際上比原計(jì)劃多生產(chǎn)了90+35=125臺(tái)，這是一個(gè)總量之差。進(jìn)而可求得燒了多少千克，這批煤共有多少千克。（棵數(shù)1）在封閉的線路上植樹，那么植樹的棵數(shù)與段數(shù)相等。相鄰兩棵樹之間的距離有多少米？ 150247。10=60棵 柳樹：(10247。也叫行程問(wèn)題。相遇時(shí)間例兩列火車同時(shí)從相距540千米的甲乙兩地相向而行。(13+12)+1=6小時(shí)例計(jì)劃開鑿一條長(zhǎng)158米的隧道。需要知道兩車的速度。早上六點(diǎn)甲乙兩人一起從甲地出發(fā)，甲每小時(shí)行5千米，乙每小時(shí)行4千米。單位換算略。全工程原定100人90天完成，那么，平均每人每天要完成全工程的 ；100人工作15天完成了全工程量的 10015。如果在空池時(shí)，將甲乙丙三管齊開，2分鐘后關(guān)閉乙管，還要幾分鐘可以注滿水池？分析與解：先求出甲乙丙三管齊開2分鐘后，注滿了水池的幾分之幾，還余下幾分之幾。 ＝18天例一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做10天完成，乙獨(dú)做12天可以完成，丙獨(dú)做15天完成。這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。(25–5)=5天例有一水井，連續(xù)不斷涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。36=18臺(tái)分水井原有的水量。由此，題目可以轉(zhuǎn)換成：這片青草可供(410)只羊吃20天，或供60只羊吃10天，問(wèn)(410+60)只羊吃多少天？(410)只羊20天吃的草可供多少只羊一天？41020=800只天 60只羊10天吃的草可供多少只羊吃一天？6010=600只天(20–10)天新長(zhǎng)出的草可供多少只羊吃一天？800–600=200只每天的新長(zhǎng)出的草可供多少只羊吃一天？200247。3=21??2(20+315)247。求出能被5和7整除，而被3除余1的數(shù)，并把這個(gè)數(shù)乘以。例如： 20247。(410+60–20)=5天漢朝大將韓信善于用兵。12=6臺(tái)分水井原有水量加上12分鐘涌出的水量?，F(xiàn)在12分鐘要抽完井水，需要抽水機(jī)多少臺(tái)？隨著時(shí)間的增長(zhǎng)涌出的泉水也不斷增多，但原來(lái)水量和每分鐘涌出的水量不變。但是不管它怎樣增長(zhǎng)，草的總量總是由牧場(chǎng)原有草量和每天長(zhǎng)出的草量相加得來(lái)的。甲休息了幾天？如果甲沒(méi)有休息，那么甲乙丙都工作了6天，完成了工程量的幾分之幾，超過(guò)了幾分之幾，然后求得甲休息了幾天。三管齊開2分鐘，注滿了水池的幾分之幾？（+）＝4分鐘例一隊(duì)割麥工人要把兩塊麥地的麥割去。采用先進(jìn)技術(shù)后，每人工作效率是：［ （1+50％）］，進(jìn)而求得余下的工程所用的天數(shù)。（）＝20天 解法二：假定甲與乙一樣工作3天，完成的工作量為 3＝，這時(shí)工作量必定超過(guò)20％，超過(guò)部分 +20％，就是甲隊(duì)一天的工作量。問(wèn)丙什么時(shí)候追上乙？要求“兩追上乙的時(shí)間”，需要知道“丙與乙的距離差”和“速度差”?？蛙囍型疽蚬释ｉ_2小時(shí)后繼續(xù)行駛，貨車從出發(fā)到相遇共用多少小時(shí)？ 假設(shè)客車一出發(fā)即發(fā)生故障，且停開2小時(shí)后才出發(fā)，這時(shí)貨車已行了全程的 2=，剩下全程的1=，由兩車共同行駛。35天后，甲隊(duì)調(diào)往其他工地，剩下的由乙隊(duì)單獨(dú)開鑿，還要多少天才能打通隧道？要求剩下的乙隊(duì)開鑿的天數(shù)，需要知道剩下的工作量和乙隊(duì)每天的挖進(jìn)速度。甲每小時(shí)行13千米，乙每小時(shí)行12千米，乙在行進(jìn)中因修車候車耽誤1小時(shí)，然后繼續(xù)行進(jìn)，與甲相遇。時(shí)間 時(shí)間＝距離247?，F(xiàn)在計(jì)劃全部換用大型水泥電線桿，每相鄰兩根相距60米。21)=3米 例在一個(gè)周長(zhǎng)為600米的池塘周圍植樹，每隔10米栽一棵楊樹，在相鄰兩棵楊樹之間每隔2米栽1棵柳樹。株距 總長(zhǎng)＝株距棵數(shù) 株距＝總長(zhǎng)247。(480400)］+4080=16080千克有關(guān)栽樹以及與栽樹相似的一類應(yīng)用題，叫做植樹問(wèn)題。根據(jù)這兩個(gè)差可以求出原計(jì)劃生產(chǎn)的天數(shù)。這是路程這差。用同樣的磚鋪地，圖書室比辦公室多用864塊。例如：總量之差與單位量之差；時(shí)間之差與速度之差或距離之差等等?？汕蟮?年后乙的年齡，從而求得今年乙的年齡和甲的年齡。根據(jù)差倍應(yīng)用題的解法，可求出小方幾年后的年齡。如果確定以2班學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，由“三個(gè)班共有學(xué)生148人”和“1班學(xué)生人數(shù)比2班多32=6人，2班學(xué)生人數(shù)比3班多12+3=5人”可先求得2班的學(xué)生人數(shù)。2=78個(gè) 甲略例一列客車長(zhǎng)280米，一列貨車長(zhǎng)200米，在平行的軌道上相向而行，兩車從兩車頭相遇到兩車尾相離共經(jīng)過(guò)15秒；兩列車在平行軌道上同向而行，貨車在前，客車在后，從兩車相遇(貨車車尾和客車車頭)到兩車相離(貨車車頭和客車車尾)經(jīng)過(guò)2分鐘。根據(jù)“其余兩車共運(yùn)磚塊數(shù)”和“第二輛比第三輛汽車多運(yùn)200塊”可求得第二輛和第三輛各運(yùn)磚多少塊。2=41人原來(lái)甲班有工作人員多少人?5346=7人原來(lái)乙班有工作人員多少人?41+46=87人例甲乙丙三人共裝訂同一種書刊508本。蘋果樹和梨樹各有多少棵？例甲乙兩倉(cāng)共存貨物1630噸。已知現(xiàn)在“甲箱橘子的只數(shù)是乙箱的3倍”，要先求現(xiàn)在甲箱橘子比乙箱多多少只。兩根電線剪去同樣的長(zhǎng)度，結(jié)果甲電線所剩下長(zhǎng)度是乙電線的3倍。(31)=42輛第二車隊(duì)原有客車多少輛？4211=31輛第一車隊(duì)原有客車多少輛？31+128=159輛例小華今年12歲，他父親46歲，幾年以后，父親的年齡是兒子年齡的3倍？ 父親的年齡與小華年齡的差不變。(41+35)就是去年的(31)份去年：(41+35)247。這樣，原來(lái)兩個(gè)數(shù)的和就一共減少了(880+220)［7106(880+220)］247。甲乙丙三人各生產(chǎn)零件多少個(gè)？以丙生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)(1份的數(shù))，乙生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)=丙生產(chǎn)的2倍21個(gè)；甲生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)=丙的(22)倍+(212+15)個(gè)。解答方法是：和247。準(zhǔn)備的糧食1人能吃多少天?300120