正弦定理證明方法(完整版)
【正文】 C/sinA=AC/sinB=AB/sinC證明如下：在三角形的外接圓里證明會比較方便例如，用BC邊和經(jīng)過B的直徑BD，構(gòu)成的直角三角形DBC可以得到：2RsinD=BC(R為三角形外接圓半徑)角A=角D得到：2RsinA=BC同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB這樣就得到正弦定理了一種是用三角證asinB=bsinA用面積證用幾何法，畫三角形的外接圓聽說能用向量證，咋么證呢?三角形ABC為銳角三角形時，過A作單位向量j垂直于向量AB，則j與向量AB夾角為90，j與向量BC夾角為(90B),j與向量CA夾角為(90+A),設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,因為AB+BC+CA=0即j*AB+J*BC+J*CA=0|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90B)+|j||CA|cos(90+A)=0所以asinB=bsinA用余弦定理：a^2+b^22abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2c^2)/2abSINc^2=1COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2(a^2+b^2c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得證用余弦定理：a^2+b^22abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2c^2)/2abSINc^2=1COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2(a^2+b^2c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得證滿意答案好評率：100%正弦定理△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。(a+b)∴c^2=asinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC：如圖，任意三角形ABC,⊙,所以∠DAB=90度因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠。sinB=b則有 AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。DAB=90 在RtDABD中 oA QsinC=sinD=\c 2RDb c c=2R sinCab同理：=2R,=2RsinAsinBabc所以===2R1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 2）sinA=CaB abc ,sinB=,sinC=2R2R2R3）asinB=bsinA,asinC=csinA,csinB=bsinC 4）a:b:c=sinA:sinB:sinC例題在DABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，若(3bc)cosA=acosC，：由正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC得(3sinBsinC)cosA=sinAcosC\3sinBcosA=sin(A+C)Qsin(A+C)=sinB\3sinBcosA=sinBQB206。一、《標(biāo)準(zhǔn)》必修模塊數(shù)學(xué)5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較1．課程內(nèi)容安排上的變化“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個單元。課程關(guān)注點的變化原《大綱》中，解斜三角形內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點放在運算上。這就要求在教學(xué)過程中，突出幾何的作用和數(shù)學(xué)量化思想，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的探究過程、再創(chuàng)造過程。10=10 000sin30sin60sin90abc對于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：。+ j如可設(shè)計下面的問題進(jìn)行教學(xué)：參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD^CD，AD=10，AB=14，208?！嘈枰驜D，而BD需在△A B四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理例2圖 求BC。只要求出DE的長。MOA=q，則：時，Smax=200．4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設(shè)208。2003年4月第一次印刷。嚴(yán)士健 張奠宙王尚志等主編。OQM=90o+30o=120o，由正弦定理，得：sin120o又QMN=2OMsin(60oa)=40sin(60oa)，MQ=20sina=3sina． 3MP=20sinq,OP=20cosq，從而S=400sinqcosq=200sin2q．即當(dāng)q=p∴S=MQMN=sinasin(60oa)=cos(2a60o)cos60o． 33[]∴當(dāng)a=30o時，Smax=由于400． 3400平方厘米． 200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33也可以建議學(xué)生在課外自行尋找研究性、應(yīng)用性的題目去做，寫出研究或?qū)嶒瀳蟾?，在學(xué)校開設(shè)的
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