【正文】 垂直直角三角形斜邊上的高——聯(lián)想——直角三角形射影定理?xiàng)l件中圓內(nèi)接四邊形——聯(lián)想——圓內(nèi)角四邊形對角互補(bǔ)，圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角條件中弧相等——聯(lián)想——它們所對的圓周角相等條件中線段相等——聯(lián)想——如果在同一個(gè)三角形中，則它們所對的角相等第二篇：圓的定理及其證明圓周角定理內(nèi)容：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半。如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例。相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于相似比； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于相似比的平方；直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項(xiàng)。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。證明：情況1：如圖1，當(dāng)圓心O在∠BAC的一邊上時(shí)，即A、O、B在同一直線上時(shí)：圖1∵OA、OC是半徑 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO（等腰三角形底角相等）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情況2：如圖2,，當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時(shí)： 連接AO，并延長AO交⊙O于D圖2∵OA、OB、OC是半徑 解：∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對等角）∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情況3：如圖3，當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時(shí)：圖3連接AO，并延長AO交⊙O于D連接OC,OB。證明：分三種情況：（1）圓心O在∠BAC的一邊AC上 ∵AC為直徑 ∴弧CmA=弧CA ∵弧CA為半圓, ∴弧CmA的度數(shù)為180176。 ∴∠BAC+∠CAD=90176。證明：設(shè)ABP是⊙O的一條割線，PT是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為T，則PT178。證明：如圖，在⊙O中，DC為直徑，AB是弦，AB⊥DC于點(diǎn)E，AB、CD交于E，求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD 連接OA、OB分別交⊙O于點(diǎn)A、點(diǎn)B ∵OA、OB是⊙O的半徑 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三線合一）∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC第三篇：圓冪定理及其證明圓冪定理圓冪的定義:一點(diǎn)P對半徑R的圓O的冪定義如下：OPR所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。TPAB如圖，PT為圓切線，PAB為割線。存在：PAPB=PCPD 進(jìn)一步升華（推論）：過任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。BP=CPBT弦切角定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角C，弦切角定理：：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.(弦切角就是切線與弦所夾的角）弦切角定理證明證明：設(shè)圓心為O，連接OC，OB，OA。DP圓冪定理圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。PD。在△AIO中，由余弦定理可求得: OI^2=R(R2r).∵九點(diǎn)圓心在線段HO的中點(diǎn), ∴在△HIO中，^2=2(4R^2+4Rr+3r^2s^2)+ 2(R^22Rr)(9R^2+8Rr+2r^22s^2)=(R2r)^2 故IQ=(R2r)/△ABC的九點(diǎn)圓半徑為R/2, 所以九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓的圓心距為 d=R/2r=(R2r)/2= 三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓內(nèi)切。AC=AB四點(diǎn)不限于同一平面。CD，且CKDA。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，ACBC．推論，必有ACAD注意：(ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABDS△BOD)/(S△ACDS△COD)=S△AOB/S△AOC ③同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③④⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn):設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)?；颍涸O(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=證明一：過點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長線于G，則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。BE：EC=BB39。（S△BEF：S△CEF）我們換乘汽車沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。從A點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有：方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式：（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠、M、N三點(diǎn)共線。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。則PAPB等于圓冪的絕對值。PD證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間）因?yàn)锳BCD為圓內(nèi)接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)幾何語言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線∴PT^2=PA圓①也可以寫成x^2+y^22xOx2yOy+xO^2+yO^2a=0①′其中a為圓的半徑的平方。說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時(shí)我們也看到了問題4與問題問題2的內(nèi)在聯(lián)系。那么這四點(diǎn)共圓）反證法證明現(xiàn)就“若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對角互補(bǔ)。類似地可證C不可能在圓內(nèi)。四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)：（1）同弧所對的圓周角相等（2）圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角 以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。當(dāng)P在圓外時(shí)，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。PC=PA證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。PD。PB=PC則O是,確定九點(diǎn)圓的中點(diǎn)三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。（3）若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)P對應(yīng)兩者的西姆松線的交