【正文】 線段 AF 為直徑的圓圓心 M（ ， 1），半徑為 ， 經(jīng)過點 B（ 0， m），則丨 BM 丨 = ， 即 = ，解得： m=1， 同理 A 點坐標(biāo)（ 2，﹣ 2），以線段 AF 為直徑的圓圓心 M（ ，﹣ 1），半徑為 ， 經(jīng)過點 B（ 0， m），則丨 BM 丨 = ， = ，解得： m=﹣ 1， 故 m為 1 或﹣ 1， 故答案為： 1 或﹣ 1． 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17．在 △ ABC 中，設(shè)內(nèi)角 A， B， C 所對邊分別為 a， b， c，且 sin（ A﹣ ）﹣cos（ A+ ） = ． （ 1）求角 A 的大?。? （ 2）若 a= ， sin2B+cos2C=1，求 b， c． 【考點】 余弦定理． 【分析】 （ 1）由誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦、余弦函數(shù)化簡已知的等式，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角 A 的大小； （ 2）由二倍角余弦公式的變形化簡 sin2B+cos2C=1，由正弦定理化簡后，由條件和余弦定理列出方程求出 b， c 的值． 【解答】 解：（ 1）因為 sin（ A﹣ ）﹣ cos（ A+ ） = ， 所以 sin（ A﹣ ）﹣ cos（ A﹣ ） = ， 則 sinA﹣ cosA﹣（ cosA+ sinA） = ， 化簡得 cosA= ， 又 0＜ A＜ π，則 A= ； （ 2）因為 sin2B+cos2C=1，所以 sin2B+1﹣ 2sin2C=1， 即 sin2B=2sin2C， 由正弦定理得， b2=2c2，則 b= c， 又 a= ，由余弦定理得， a2=b2+c2﹣ 2bccosA， 則 5=2c2+c2﹣ 2 c2 ，解得 c=1， 則 b= c= ． 18．某大學(xué)有甲、乙兩個圖書館，對其借書的等待時間進行調(diào)查，得到下表： 甲圖書館 借書等待時間 T1（分鐘） 1 2 3 4 5 頻數(shù) 1500 1000 500 500 1500 乙圖書館 借書等待時間 T2（分鐘） 1 2 3 4 5 頻數(shù) 1000 500 2021 1250 250 （ 1）分別求在甲、乙兩圖書館借書的平均等待時間； （ 2）以表中等待時間的學(xué)生人數(shù)的頻率為概率，若某同學(xué)希望借書等待時間不超過 3 分鐘，請問在哪個圖書館借更能滿足他的要求？ 【考點】 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)． 【分析】 （ 1）分別求出 T1和 T2的平均數(shù)，判斷結(jié)論即可； （ 2）設(shè)事件 A 為： “在甲圖書館 借書的等待時間不超過 3 分鐘 ”，設(shè)事件 B 為 “在乙圖書館借書的等待時間不超過 3 分鐘 ”，分別求出 P（ A）和 P（ B），比較即可． 【解答】 解：（ 1）由題意得： T1的平均數(shù)為： = =， 同理，可得 T2的平均數(shù)為： = =， 故，甲圖書館借書的平均等待時間是 分鐘， 乙圖書館借書的平均等待時間是 分鐘； （ 2）設(shè)事件 A 為： “在甲圖書館借書的等待時間不超過 3 分鐘 ”， 則 P（ A） =P（ T1≤ 3） =P（ T1=1） +P（ T1=2） +P（ T1=3） = + + =； 設(shè)事件 B 為 “在乙圖書館借書的 等待時間不超過 3 分鐘 ”， 則 P（ B） =P（ T2≤ 3） =P（ T2=1） +P（ T2=2） +P（ T2=3） = + + =， 故 P（ B） ＞ P（ A）， 由上可知，在乙圖書館借書的總等待時間不超過 3 分鐘的概率更高一些， 故在乙圖書館借更能滿足該同學(xué)的要求． 19．如圖所示，在 Rt△ ABC 中， AC⊥ BC，過點 C 的直線 VC 垂直于平面 ABC，D、 E 分別為線段 VA 、 VC 上異于端點的點． （ 1）當(dāng) DE⊥ 平面 VBC 時，判斷直線 DE 與平面 ABC 的位置關(guān)系，并說明理由； （ 2）當(dāng) D、 E 分別為線段 VA 、 VC 上的中點，且 BC=1， CA= ， VC=2 時，求三棱錐 A﹣ BDE 的體積． 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定． 【分析】 （ 1）當(dāng) DE⊥ 平面 VBC 時， DE⊥ VC，推導(dǎo)出 VC⊥ AC，從而 DE∥ AC，由此能證明直線 DE∥ 平面 ABC． （ 2）三棱錐 A﹣ BDE 的體積為 VA﹣ BDE=VB﹣ ADE，由此能求出三棱錐 A﹣ BDE 的 體積． 【解答】 解：（ 1）直線 DE∥ 平面 ABC． 證明如下： ∵ VC?平面 VBC， ∴ 當(dāng) DE⊥ 平面 VBC， DE⊥ VC， ∵ AC?平面 ABC， VC⊥ 平面 ABC， ∴ VC⊥ AC， ∵ VC， DE， AC?平面 VAC， ∴ DE∥ AC， ∵ AC?平面 ABC， DE?平面 ABC， ∴ 直線 DE∥ 平面 ABC． （ 2） VC⊥ 平面 ABC， ∴ VC⊥ BC， 又 BC⊥ AC，在平面 VAC 內(nèi)， VC∩ AC=C， ∴ BC⊥ 平面 VCA， ∴ 三棱錐 A﹣ BDE 的體積為 VA﹣ BDE=VB﹣ ADE= ， ∵ D， E 分別是 VA ， VC 上的中點， ∴ DE∥ AC，且 DE= AC= ， ∴ DE⊥ VC， S△ ADE=S△ CDE= = ， ∴ 三棱錐 A﹣ BDE 的體積 VA﹣ BDE=VB﹣ ADE= = = ． 20．已知橢圓 + =1（ a＞ b＞ 0）過點 P（ 2， 1），且離心率為 ． （ Ⅰ ）求橢圓的方程； （ Ⅱ ）設(shè)直線 l 與 x 軸不垂直，與橢圓相交于不同于 P 的兩點 A， B，直線 PA，PB 分別交 y 軸于 M， N，若 = （其中 O 為坐標(biāo)原點），直線 l 是否過定點？若不過定點，說明理由，若過定點，求出定點的坐標(biāo)． 【考點】 直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】 （ Ⅰ ）由已知可得 ，解得 a2， b2． （ Ⅱ ）設(shè)直線 AB 的方程： y=kx+t， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）． 由 ，可得（ 4k2+1） x2+8ktx+（ 4t2﹣ 8） =0． △ =16（ 8k2﹣ t2+2） ＞ 0， ． 寫出直線 PA、的方程 ，求出 M、 N 坐標(biāo)，由 = 得（ 2﹣ 4k） x1x2﹣（ 2﹣ 4k+2t）（ x1+x2） +8t=0． 把 ① 代入 ② 化簡得（ t+2）（ 2k+t﹣ 1） =0．得 t． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由已知可得 ，解得 a2=8， b2=2． ∴ 橢圓的方程為： ． （ Ⅱ ）設(shè)直線 AB 的方程： y=kx+t， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）． 由 ，可得（ 4k2+1） x2+8ktx+（ 4t2﹣ 8） =0．