【正文】 c、d四點共圓等價。bd=abcd+bcbc①。cd＋adbd≤|（ab）（cd）|+|（bc）（ad）|=ab塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現。 梅涅勞斯定理 梅涅勞斯定理證明 梅涅勞斯（menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。cc39。 （ad：db） 第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若e，f，d三點共線，則 （sin∠acf/sin∠fcb）（sin∠bad/sin∠dac）（sin∠cba/sin∠abe）=1 即圖中的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積 該形式的梅涅勞斯定理也很實用 第二角元形式的梅涅勞斯定理 在平面上任取一點o，且edf共線，則（sin∠aof/sin∠fob）（sin∠bod/sin∠doc）（sin∠coa/sin∠aoe）=1。 從a點出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明： 方案①——從a經過b（不停留）到f（停留），再返回b（停留），再到d（停留），之后經過b（不停留）到c（停留），再到e（停留），最后從e經過c（不停留）回到出發(fā)點a。當直升機降落在b點時，就會有四項因式。（此線常稱為西姆松線）。 ③∴∠fdp+∠pde=180176。 三角形abc和三角形xyz位似，那么它們的外接圓也位似。從圓外一點p引兩條割線與圓分別交于a、b；c、d，則有papb=pc（這就是“圓冪”的由來） 證明 圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論（割線定理）統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問題1 相交弦定理。pd，當pa=pb，即直線ab重合，即pa切線時得到切線定理pa^2=pcpb=√（（k1t1）^2+（k2t1）^2）√（（k1t2）^2+（k2t2）^2） =（√（k1^2+k2^2））^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|（xo^2+yo^2r^2）/（k1^2+k2^2）| =|（xo^2+yo^2r^2）| 為定值，證畢。 可以證明，當在圓內時，上述推導及結論仍然成立。 四點共圓的定理： 四點共圓的判定定理： 方法1把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓. （可以說成：若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等，那末這二點和線段二端點四點共圓） 方法2把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓. （可以說成。 （2）相交弦定理推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它所分直徑所成的兩條線段的比例中項。弦切角的度數等于它所夾的弧的圓周角。pd 圓冪定理——切割線定理 一、切割線定理 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項 幾何語言： ∵pt切⊙o于點t，pba是⊙o的割線2∴pt=pa從圓外一點引圓的兩條割線，pd 第四篇：圓的相關定理圓冪定理 定義 圓冪=po^2r^2（該結論為歐拉公式）所以圓內的點的冪為負數，圓外的點的冪為正數，圓上的點的冪為零。pb=pc 幾何語言： ∵pt切⊙o于點t，pba是⊙o的割線 ∴pt的平方=pa ladp 切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 幾何語言：∵l⊥oa，點a在⊙o上 ∴直線l是⊙o的切線（切線判定定理） 切線的性質定理 圓的切線垂直于經過切點半徑 幾何語言：∵oa是⊙o的半徑，直線l切⊙o于點a ∴l(xiāng)⊥oa（切線性質定理） 推論1經過圓心且垂直于切線的直徑必經過切點 推論2經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心 切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角 幾何語言：∵直線pa、pb分別切⊙o于a、b兩點 ∴pa=pb，∠apo=∠bpo（切線長定理） 證明：連結oa、ob ∵直線pa、pb分別切⊙o于a、b兩點 ∴oa⊥ap、ob⊥pb ∴∠oap=∠obp=90176。 （4）弦切角可以認為是圓周角的一個特例，弦切角具有與圓周角類似的性質. 相關公式 弧長計算公式：l=n兀r／180 扇形面積公式：s扇形=n兀r^2／360=lr／2 內公切線長=d（rr）外公切線長=d（r+r） 圓的標準方程（xa）2+（yb）2=r2注：（a，b）是圓心坐標 第五篇：不常用的圓定理弦切角定理 弦切角的定義。圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。pb=pc（po+r）=po^2r^2=|po^2r^2|（一定要加絕對值，原因見下）為定值。設a為c1的點，直線ma交c2於b，直線pa交c3於c。 逆定理：設c1，c2，c3，c4，c5五個圓的圓心都在圓c上，相鄰的圓交於c上，那麼把它們不在c上的交點與比鄰同樣的點連起來，所成的五條直線相交於 第41頁 共41頁。逆定理：如果 ， 是三角形，m，n，p三點分別在邊ab，bc，ca上，那麼三角形 的外接圓交於一點o。（事實上所有的過p點與圓相交的直線都滿足這個值）若點p在圓內，類似可得定值為r^2po^2=|po^2r^2| 故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕對值。 進一步升華（推論）： 過任意在圓o外的一點p引一條直線l1與一條過圓心的直線l2，l1與圓交于a、b（可重合，即切線），l2與圓交于c、d。從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線段長的比例中項。 弦切角定理就是弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角，一半弧所對的圓心角 如圖：tc為圓o切線，∠btc=∠bat 弦切角定理的推論。 ∴∠acd+∠cad=90176。ld。pc=pa 相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。ld。pc=pa 二、弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半 弦切角定理證明（分三種情況討論）： 已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o的切線，a為切點，弧是弦切角∠：弦切角定理 ①圓心o在∠bac的一邊ac上 ∵ac為直徑，ab切⊙o于a， ∴弧cma=弧ca ∵為半圓， ∴∠cab=90=弦ca所對的圓周角 ②圓心o在∠bac的內部 過a作直徑ad交⊙o于d，若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點e，連接ec、ed、ea∴∠ced=∠cad∠dea=∠dab ∴∠cea=∠cab ③圓心o在∠bac的外部， 過a作直徑ad交⊙o于db ∴∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90 ∴∠cda=∠cab 三、弦心角推論 推論內容：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等 應用： ，Δabc內接于⊙o，ab是⊙o直徑，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c 求證：ac平分∠mcd，bc平分∠：∵ab是⊙o直徑 ∴∠acb=90 ∵cd⊥ab ∴∠acd=∠b， ∵mn切⊙o于c ∴∠mca=∠b， ∴∠mca=∠acd， 即ac平分∠mcd， 同理：bc平分∠ncd. 圓冪定理——相交弦定理 一、相交弦定理 相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等（經過圓內一點引兩條弦，各弦被這點所分成的兩段的積相等） 幾何語言： ∵弦ab、cd交于點p∴pa從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。那么這四點共圓） 反證法證明 現就“若平面上四點連成四邊形的對角互補。 四點共圓 四點共