【正文】 ④′ 即與圓心距離的平方減去半徑的平方. 當p在圓內(nèi)時，冪值是負值；p在圓上時，冪為0；p在圓外時，冪為正值，這時冪就是自p向圓所引切線長的平方。 如四邊形abcd內(nèi)接于圓o，延長ab和dc交至e，過點e作圓o的切線ef，ac、bd交于p，則a+c=π，b+d=π， 角dbc=角dac（同弧所對的圓周角相等）。 第二篇：圓冪定理圓冪定理 （1）相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。pb（相交弦定理推論） 二、相交弦定理證明 證明：連結(jié)ac，bd 由圓周角定理的推論 得∠a=∠d，∠c=∠b（圓周角推論2：同（等）弧所對圓周角相等） ∴△pac∽△pdb， ∴pa∶pd=pc∶pb，papb 證明：連接at，bt ∵∠ptb=∠pat（弦切角定理） ∠p=∠p（公共角） ∴△pbt∽△pta（兩角對應相等，兩三角形相似） 則pb：pt=pt：ap 2即：pt=papd 證明：連接ad、bc ∵∠a和∠c都對弧bd ∴由圓周角定理， ∠a=∠c 又∵∠apd=∠cpb ∴△adp∽△cbp ∴ap：cp=dp：bp， 即papd。pb（相交弦定理推論） 切割線定理 定義 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。pb 證明：連接at，bt ∵∠ptb=∠pat（弦切角定理） ∠p=∠p（公共角） ∴△pbt∽△pta（兩角對應相等，兩三角形相似） 則pb：pt=pt：ap 即：pt^2=pbpd證明：連接ad、bc ∵∠a和∠c都對弧bd ∴由圓周角定理，得∠a=∠c 又∵∠apd=∠cpb ∴△adp∽△cbp ∴ap：cp=dp：bp，也就是ap2∠cad又∵∠acd=90176。 圓冪定理 圓冪定理是相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及他們推論的統(tǒng)稱。pd。若圓半徑為r，則 pc許多有用的定理可由其推出。那麼a1，a2，a3，a4四點共圓當且僅當b1，b2，b3，b4四點共圓。 四圓定理。1838年，奧古斯特pb=pc 弦切角定理的證明?！唷蟧ca=∠cad∵oc=oa=r∴∠oca=∠oac∴∠coa=180176。（lt是切線） 證明 如圖直線abp和cdp是自點p引的⊙o的兩條割線，則papb=pcpb=pc從圓外一點p引兩條割線與圓分別交于a、b；c、d，則有pa（lt是 切線） 二、割線定理證明 已知：如圖直線abp和cdp是自點p引的⊙o的兩條割線 證明：papb 2即pt=pcpd（相交弦定理） 推論：如果弦與直徑垂直相交，、幾何中比例中項的概念：如果a、b、c三個量成連比例即a：b=b：c，b叫做a和c的比例中項。 （5）割線定理 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等。類似地可證c不可能在圓內(nèi)。 四點共圓 證明四點共圓的基本方法 證明四點共圓有下述一些基本方法： 方法1 從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓. 方法2 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓.（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。 這定值稱為點p到這圓的冪。pb（切割線定理推論） 問題3 過點p任作直線交定圓于兩點a、b，證明pa ∴△pac∽△pdb，∴pa：pd=pc：pb，pa（po+r）=po^2r^2=|po^2r^2|（要加絕對值，原因見下）為定值。pb=pc圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。 相關(guān)性質(zhì)的證明 連ah延長線交圓于g， 連pg交西姆松線與r，bc于q 如圖連其他相關(guān)線段 ah⊥bc，pf⊥bc==ag//pf==∠1=∠2 ==∠2=∠3 pe⊥ac，pf⊥bc====∠3=∠4 ==∠1=∠4 pf⊥bc ==pr=rq bh⊥ac，ah⊥bc==∠5=∠6 ==∠6=∠7 ==∠5=∠7 ag⊥bc==bc垂直平分gh ==∠8=∠2=∠4 ∠8+∠9=90，∠10+∠4=90==∠9=∠10 ==hq//df ==pm=mh 第二個問，平分點在九點圓上，如圖。 （2）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。 還可以從逆時針來看，從第一個頂點到逆時針的第一個交點比上到下一個頂點的距離，以此類推，可得到三個比例，它們的乘積為1. 現(xiàn)在是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。從a出發(fā)還可以向“c”方向走，于是有： 方案③——a→c→e→d→f→b→a，由此可寫出公式： （ac：ce）*（ed：df）*（fb：ba）=1。 我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點。（s△bcf：s△baf） =（s△adf：s△bdf）：cc39。若有三點f、d、e分別在△abc的邊ab、bc、ca或其延長線上，且滿足（af/fb）（bd/dc）（ce/ea）=1，則f、d、e三點共線。 三角形三條中線交于一點（重心）：如圖5d，e分別為bc，ac中點所以bd=dcae=ec所以bd/dc=1ce/ea=1 且因為af=bf所以af/fb必等于1所以af=fb所以三角形三條中線交于一點 此外，可用定比分點來定義塞瓦定理： 在△abc的三邊bc、ca、ab或其延長線上分別取l、m、n三點，又分比是λ=bl/lc、μ=cm/ma、ν=an/nb。 歐拉定理：在一條線段上ad上，順次標有b、c兩點，則adbc，當且僅當abcd四點共圓時取等號。①＋②得ac（bp＋dp）=abbd＝abbd=ab在弦bc上，圓周角∠bac=∠bdc，而在ab上，∠adb=∠acb。ad（2） （1）+（2），得 ac（be+ed）=ab因此三角形的九點圓與旁切圓外切 托勒密定理 定理的內(nèi)容托勒密（ptolemy）定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。wah=2r*cosa，ao=r，ai=√[（sa）bc/s]，aia=√[sbc/（sa）]在△ahi中，由余弦定理可求得：hi^2=4r^2+4rr+3r^2s^2。 證明 一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。首先注意到復數(shù)恒等式：（ab）（cd）+（ad）（bc）=（ac）（bd），兩邊取模，運用三角不等式得。因此ak/ab=cd/bd，且ck/bc=da/bd；因此akbd=abbp=adbd=ab 簡單的證明：復數(shù)恒等式：（ab）（cd）+（ad）（bc）=（ac）（bd），兩邊取模， 得不等式acbd 塞瓦定理 簡介 塞瓦（giovanniceva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學家。 設三邊ab、bc、ac的垂足分別為d、e、f，根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為（ad：db）*（be：ec）*（cf：fa）=[（cd*ctga）/[（cd*ctgb）]*[（ae*ctgb）/（ae*ctgc）]*[（bf*ctgc）/[（ae*ctgb）]=1，所以三條高cd、ae、bf交于一點。bb39。 所以（af/fb）（bd/dc）（ce/ea）=1 證明四： 連接bf。于是l、m、n三點共線的充要條件是λμν=1。 另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點。 值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。 證明