【正文】 ??????????????00532032321321321axxxxxxxxx ??? ???? ??? 0)1(2 03221321 xcxbx cxbxx 同解 ,求 a,b,c. (20xx年數學三 ,四 ) 例 30 設 (Ⅰ )和 (Ⅱ )是兩個四元齊次線性方程組 ,(Ⅰ )的系數矩陣為 ???????? 1121 0132 －－ (Ⅱ )的一個基礎解系為 T2,1)a(2,1, ? , T8)a(1,2,4, ? .已知 (Ⅰ )和 (Ⅱ )有公共非零解 ,求 a,并求出它們的全部公共解 .(02四 ) 注 :關于兩個齊次方程組 有公共非零解的判斷 . (1)如果都給出了方程組的具體形式 , 有公共非零解就是聯(lián)立方程組有非零解 . (2)如果一個給了系數矩陣 A,另一個給出了基礎解系 s??? ， ?21 ,則 有公共非零解sAAA ??? ， ?21? 線性相關 . (3)兩個都給出了基礎解系 s??? ， ?21 和 t??? , 21 ? , 則 有公共非零解ts ?????? , 2121 ?? ，? 線性相關 . 新東方在線 [] 網絡課堂電子教材系列 9 第三部分 (應用篇 ) 特征向量與特征值 相似和對角化 二次型 這 部分的概念比較多 ,但是并不抽象 ,只要前面的基礎掌握得好了 ,這些概念不難理解 .并且這部分的考題類型比較穩(wěn)定 ,變化和靈活性小 . 主要題型有 : 特征值的計算 ,矩陣對角化的判斷和對角化的實現(xiàn) ,用正交變換化二次型為標準二次型 ,正定的判斷等 . 一 .特征值的計算 求一個 n階矩陣 A 的特征值主要依據下面的命題 : ? 是 A 的特征值 0??? AE? ，即 )( AE?? 不可逆 . 即 : ? 不 是 A 的特征值 EA ??? 可逆 . 特別地 :0是 A 的特征值 A? 不可逆 .(或矩陣 A 可逆 ? 0不是 A 的特征值 .) 把 AE?? 稱為 A 的特征多項式 , A 的特征值就是它的根 . AE?? 是 ? 的 n次多項式，有 n個根 ,因此 A 有 n個特征值 ,記作 n??? , 21 ? .它們有以下性質 : ① )(21 Atrn ???? ??? ? (A 的跡數，即主對角線上元素之和 ). ② An ???? ?21 . ③ 設 ? 是 A 的特征值，則它的重數 )( AErn ??? ? . 計算特征值的步驟為先求出特征多項式 ,在求它的根 .一般來說是很困難的 .但是有兩類特殊的矩陣的特征值很好計算 ,并且在考題中非常有用 . 三角矩陣 (包含對角矩陣 ),則它的 特征值就是對角線上的元素 . 秩為 1矩陣特征值為 ,00,0,? , )(Atr . 還有一個對計算特征值很有用的命題 : 的特征值 如果 A 的 特征值 是 n??? , 21 ? ，則 ① )(Af 的特征值 是 )(,),(),( 21 nfff ??? ? . ② 如果 A 可逆， 則 1?A 的 特征值是 n??? /1,/1,/1 21 ? 。新東方在線 [] 網絡課堂電子教材系列 1 考研數學 串講 線性代數 歡迎使用新東方在線電子教材 什么是串講 : 串講就是總復習 .在系統(tǒng)復習和做了大量練習的基礎上 ,對全課程內容和方法來個整理和總結 . 串講的特點 : (1)全局性的 ,宏觀上的 .定理 ,命題 ,性質等不講證明等細節(jié) , 看作用和應用 . (2)突出要點 ,重點 ,考點 ,不求全面 . (3)突出縱向聯(lián)系 ,不顧及先后順序 . 第一部分 (基礎篇 ) 矩陣 本部分是全課程的基礎 ,特別是計算的基礎 . 本部分概念多而且雜 ,因此考點多而碎 . 關鍵性概念 :矩陣的初等變換 ,矩陣的乘法 ,可逆矩陣 . 一 . 初 等變換和初等變換法 1. 矩陣初等變換的應用 矩陣的初等變換應用在兩個方面 : (1) 線性方程組的解的情況討論和求解 . 對增廣矩陣作初等行變換反映了方程組的同解變換 . (2) 計算矩陣和向量組的秩 . 初等行變換和初等列變換都保持矩陣的秩 . 在 (1)中 ,只可用行變換 ,決不可用列變換 .在 (2)中兩類變換都可以用 ,表示可交替使用 . 每一種應用都要用到一種基本運算 :用初等 (行 )變換把一個矩陣化為階梯形矩陣或簡單階梯形矩陣 . 每個矩陣都可用初等行變換化為階梯形矩陣 , 每個階梯形矩陣都可用初等行變換化為簡單階梯形矩陣 . 可逆矩陣可以用初等行變換化為單位矩陣 . 2. 初等變換法 ( 1)求方程組的唯一解 :例如當 A是可逆矩陣時 ,克萊姆法則說 AX=?有唯一解 ,求解的初等變換法 :對增廣矩陣 (A|?)作初等行變換 ,使得 A 變?yōu)閱挝痪仃?: (A|?)?(E|?), 則 ?就是解 . (2) 兩種基本矩陣方程 : 新東方在線 [] 網絡課堂電子教材系列 2 (I) AX=B. (II) XA=B. 這里假定 A 是行列式不為 0的 n階矩陣 ,在此條件下 ,這兩個方程的解都是存在并且唯一的 . (I) AX=B 是線性方程組的推廣 ,求解方法 :將 A 和 B 并列作矩陣 (A|B),對它作初等行變換 ,使得 A 變?yōu)閱挝痪仃?,此時 B變?yōu)榻?X. (A|B)?(E|X) (II)的解法 :對兩邊轉置化為 (I)的形式 :ATXT= (I)的方法求出 XT,轉置得 X.. (AT|BT)?(E|XT) (3) 當 A 可逆時 , A1是矩陣方程 AX=E的解 ,于是可用初等行變換求 A1: (A|E)?(E|A1) 例 1 設 3 階矩陣 A 有 3 個特征向量 ， TTT )2,1,2(,)1,2,2(,)2,2,1( 321 ?????? ??? 它們的特征值依次為 1,2,3,求 A． (97四 ) 例 2 已知 TTTP )1,1,1(,)1,0,1(,)0,1,1(,100101010321 ???????????????? ???.求 312111 , ??? ??? PPP 例 3 已知 APPPA 1110121001,311221001????????????????????????? 求 有關結論 : (1) 矩陣的秩等于它的行 (列 )向量組的秩 . (2) 初等 (行 ,列 )變換不改變矩陣的秩 . (3) 階梯形矩陣的秩就是它的非零行的個數 . 由此得到計算方法如下 : 矩陣 A 的 秩 r(A): 用初等變換把 A 化為階梯形矩陣 ,其非零行數就是 r(A). 向量組 ?1,?2,? ,?s的秩 r(?1,?2,? ,?s):作矩陣 A=(?1,?2,? ,?s), 用初等