20xx年上海市松江區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷word版含解析(完整版)
【正文】 a11a22﹣ a12a21=0， 由 于 a11， a12， a21， a22∈ {0， 1}， 可得矩陣 可以是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 則這樣的互不相等的矩陣共有 10 個(gè)． 故選： D． 16．解不等式（ ） x﹣ x+ ＞ 0 時(shí)，可構(gòu)造函數(shù) f（ x） =（ ） x﹣ x，由 f（ x）在x∈ R 是減函數(shù)，及 f（ x） ＞ f（ 1），可得 x＜ 1．用類似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞ 0 的解集為（ ） A．（ 0， 1] B．（﹣ 1， 1） C．（﹣ 1， 1] D．（﹣ 1， 0） 【考點(diǎn)】 類比推理． 【分析】 由題意，構(gòu)造函數(shù) g（ x） =arcsinx+x3，在 x∈ [﹣ 1， 1]上是增函數(shù)，且是奇函數(shù)，不等式 arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞ 0 可化為 g（ x2） ＞ g（﹣ x），即可得出結(jié)論． 【解答】 解：由題意，構(gòu)造函數(shù) g（ x） =arcsinx+x3，在 x∈ [﹣ 1， 1]上是增函數(shù)，且是奇函數(shù)， 不等式 arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞ 0 可化為 g（ x2） ＞ g（﹣ x）， ∴ ﹣ 1≤ ﹣ x＜ x2≤ 1， ∴ 0＜ x≤ 1， 故選： A． 三．解答題（本大題滿分 74分）本大題共有 5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟 ． 17．如圖，在正四棱錐 P﹣ ABCD 中， PA=AB=a， E 是棱 PC 的中點(diǎn)． （ 1）求證： PC⊥ BD； （ 2）求直線 BE 與 PA 所成角的余弦值． 【考點(diǎn)】 異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）推導(dǎo)出 △ PBC， △ PDC 都是等邊三角形，從而 BE⊥ PC， DE⊥ PC，由此能證明 PC⊥ BD． （ 2）連接 AC，交 BD 于點(diǎn) O，連 OE，則 AP∥ OE， ∠ BOE 即為 BE 與 PA 所成的角，由此能求出直線 BE 與 PA 所成角的余弦值． 【解答】 證明：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 為正方形，且 PA=AB=a， ∴△ PBC， △ PDC 都是等邊三角形， … ∵ E 是棱 PC 的中點(diǎn)， ∴ BE⊥ PC， DE⊥ PC，又 BE∩ DE=E， ∴ PC⊥ 平面 BDE… 又 BD? 平面 BDE， ∴ PC⊥ BD… 解：（ 2）連接 AC，交 BD 于點(diǎn) O，連 OE． 四邊形 ABCD 為正方形， ∴ O 是 AC 的中點(diǎn) … 又 E 是 PC 的中點(diǎn) ∴ OE 為 △ ACP 的中位線， ∴ AP∥ OE ∴∠ BOE 即為 BE 與 PA 所成的角 … 在 Rt△ BOE 中， BE= ， EO= ， … ∴ ． ∴ 直線 BE 與 PA 所成角的余弦值為 ． … 18．已知函數(shù) F（ x） = ，（ a 為實(shí)數(shù)）． （ 1）根據(jù) a 的不同 取值，討論函數(shù) y=f（ x）的奇偶性，并說(shuō)明理由； （ 2）若對(duì)任意的 x≥ 1，都有 1≤ f（ x） ≤ 3，求 a 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問(wèn)題． 【分析】 （ 1）、根據(jù)題意，先求出函數(shù)的定義域，易得其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求出 F（﹣ x）的解析式，進(jìn)而分 2 種情況討論： ① 若 y=f（ x）是偶函數(shù)， ② 若y=f（ x）是奇函數(shù)，分別求出每種情況下 a 的值，綜合即可得答案； （ 2）根據(jù)題意，由 f（ x）的范圍，分 2 種情況進(jìn)行討論： f（ x） ≥ 1 以及 f（ x）≤ 3，分析求出每種情況下函數(shù)的恒成立的條件，可得 a 的值，進(jìn)而綜合 2 種情 況，可得答案 ． 【解答】 解：（ 1）函數(shù) F（ x） = 定義域?yàn)?R， 且 F（﹣ x） = = ， ① 若 y=f（ x）是偶函數(shù)，則對(duì)任意的 x 都有 f（ x） =f（﹣ x）， 即 = ，即 2x（ a+1） =a+1， 解可得 a=﹣ 1； ② 若 y=f（ x）是奇函數(shù)，則對(duì)任意的 x 都有 f（ x） =﹣ f（﹣ x）， 即 =﹣ ，即 2x（ a﹣ 1） =1﹣ a， 解可得 a=1； 故當(dāng) a=﹣ 1 時(shí)， y=f（ x）是偶函數(shù)， 當(dāng) a=1 時(shí)， y=f（ x）是奇函數(shù)， 當(dāng) a≠177。﹣ 120176。 ∴∠ OBH=180176。建立方程，即可求雙曲線 C 的方程； （ 2）設(shè) M（ x0， y0），由雙曲線的對(duì)稱性，可得 N 的坐標(biāo)，設(shè) P（ x， y），結(jié)合題意，又由 M、 P 在雙曲線上，可得 y02=3x02﹣ 3， y2=3x2﹣ 3，將其坐標(biāo)代入 kPM?kPN中，計(jì)算可得答案． （ 3）先假設(shè)存在定點(diǎn) M，使 MA⊥ MB 恒成立，設(shè)出 M 點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量級(jí)為0，求得結(jié)論． 【解答】 （ 1）解：由題 意得 … 解得 a=1， b= … ∴ 雙曲線 C 的方程為 ； … （ 2）證明：設(shè) A（ x0， y0），由雙曲線的對(duì)稱性，可得 B（﹣ x0，﹣ y0）． 設(shè) P（ x， y）， … 則 kPA?kPB= ， ∵ y02=3x02﹣ 3， y2=3x2﹣ 3， … 所以 kPA?kPB= =3 … （ 3）解：由（ 1）得點(diǎn) F1為（ 2， 0） 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程 y=k（ x﹣ 2）， A（ x1， y1）， B（ x2， y2） 將方程 y=k（ x﹣ 2）與雙曲線方程聯(lián)立消去 y 得：（ k2﹣ 3） x2﹣ 4k2x+4k2+3=0， ∴ x1+x2= ， x1x2= 假設(shè)雙曲線 C 上存在定點(diǎn) M，使 MA⊥ MB 恒成立，設(shè)為 M（ m， n） 則 ? =（ x1﹣ m）（ x2﹣ m） +[k（ x1﹣ 2）﹣ n][k（ x2﹣ 2）﹣ n] = （ k2+1 ） x1x2 ﹣（ 2k2+k
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