河北省保定市20xx屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)理試題word版含解析(完整版)
【正文】 求期望 . 試題解析：打 5， 6， 7， 8折的概率分別為 ， （ 1）事件 為 “ 三位顧客中恰有兩位顧客打 6折 ” ， 所以 ； （ 2） 的可能取值為 2021， 2200， 2400， 2600， 2800， 3000， 3200， ， ， ， ， ， ， ， 所以 的分布列為 2021 2200 2400 2600 2800 3000 3200 元 . 19. 如圖，四棱臺(tái) 中， 底面 ，平面 平面 為 的中點(diǎn) . （ 1）證明： ； （ 2）若 ，且 ，求二面角 的正弦值 . 【答案】 (1)證明見解析； (2) . 【解析】 試題分析：（ 1）先根據(jù)平幾知識(shí)求 ，再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得 平面即得 ；（ 2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用解方程組得各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系確定二面角 的正弦值 . 試題解析：（ 1）證明：連接 ， ∵ 為四棱臺(tái)，四邊形 四邊形 ， ∴ ，由 得， ， 又 ∵ 底面 ， ∴ 四邊形 為直角梯形，可求得 ， 又 為 的中點(diǎn)，所以 ， 又 ∵ 平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 平面 ， ∴ ； （ 2）解： 在 中， ，利用余弦定理可求得， 或 ，由于 ，所以 ，從而 ，知 ， 如圖，以 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， ， 由于 平面 ，所以平面 的法向量為 ， 設(shè)平面 的法向量為 ， ， ， 設(shè) ，所以 ， ， ∴ ， 即二面角 的正弦值為 . 20. 橢圓 的離心率為 ，且過(guò)點(diǎn) . （ 1）求橢圓 的方程； （ 2）設(shè) 為橢圓 上任一點(diǎn)， 為其右焦點(diǎn)， 是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn) 滿足 . ① 證明： 為定值； ② 設(shè) 是直線 上的任一點(diǎn)，直線 分別另交橢圓 于 兩點(diǎn)，求 的最小值 . 【答案】 (1) ； (2)①. 證明見解析； ②.3. 【解析】 試題分析：（ 1）將點(diǎn)坐標(biāo)代人橢圓方程，與離心率聯(lián)立方程組解得 ,（ 2） ① 根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，代入橢圓方程化簡(jiǎn)可得 ，再求比值即可， ② 先設(shè) ，根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線 ， 方程，分別與橢圓方程聯(lián)立解得 兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)焦半徑公式可得，最后根據(jù)基本不等式求最小值 . 試題解析：（ 1）由 得 ， 把點(diǎn) 代入橢圓方程為 ， ∴ 得 ， ∴ ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ； （ 2）由（ 1）知 ， ， 而 ， ∴ 為定值； ② 設(shè) 若 ，則 ， 若 ，因?yàn)?， 直線 ，直線 ， 由 整理得 ， ∴ ，得 ， 由 整理得 ， ∴ ，得 ， 由 ① 知 ， ∴ ， ∵ （當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào)） ∴ ，即 的最小值為 3. 21. 已知函數(shù) . （ 1）討論函數(shù) 的單調(diào)性； （ 2）若 有兩個(gè)極值點(diǎn) ，證明 : . 【答案】 (1)答案見解析； (2)證明見解析 . 【解析】 試題分析：（ 1）先求導(dǎo)數(shù)，再研究二次方程 解得情況：根據(jù)判別式與零大小先進(jìn)行一級(jí)討論，再根據(jù)根與零大小進(jìn)行二級(jí)討論，（ 2）由韋達(dá)定理得，化簡(jiǎn)差函數(shù) ，再利用導(dǎo)數(shù)研究差函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性證明不等式 . 試題解析：（
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