上海格致中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型整理分析：專題1集合與函數(shù)word版含解析[數(shù)理化網(wǎng)](完整版)
【正文】 |2 ?? xy 是由 )0(12 ??? xxy 與 )0(12 ???? xxy 組成，它 們與 y 軸的交點為 )1,0( 和 )1,0( ? ，圖像如圖（實線部分） .可以看出 若直線 bkxy ?? 曲線 1||2 ?? xy 的圖像沒有公共點，此 直線必與 x 軸平行，所以 0?k ， 11 ??? b . 1 一條曲線可以作為函數(shù)圖像的 充要條件是：曲線與任何平行于 y軸的直線至多只有一個交點 . 一個函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是：定義域與值域中元素須 一一 對應(yīng)，反應(yīng)在圖像上平行于 x 軸的直線與圖像至多有一個交點 .單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)嗎？（是的 ,并且任何函數(shù)在它的每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)總有反函數(shù)） .還應(yīng)注意的是：有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)，你能舉例嗎？ ［舉例］ 函數(shù) 12)( 2 ??? axxxf ，（ ]4,3[]1,0[ ??x ），若此函數(shù)存在反函數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ . 分析： 由函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是定義域與值域中的元素一一對應(yīng)，平行于 x 軸的直線與函數(shù)的圖像至多只有一個交點 .又由二次函數(shù) 12)( 2 ??? axxxf 圖像的對稱軸為直線 ax? 知： 0?a 或 4?a 必存在反函數(shù)， 10 ??a 或43 ??a 必不存在反函數(shù) .當(dāng) ]3,1[?a 時如何討論？注意到函數(shù)在區(qū)間 ]1,0[ 上遞減，在 ]4,3[ 上遞增，所以只要)1()4( ff ? 或 )0()3( ff ? 即可 .亦即 325 ??a 或 231 ??a .綜上知，實數(shù) a 的取值范圍是 ?]0,(?? x y O 21 1 1l 1 1 x y O ),4[]3,25()23,1[ ???? . 1 求一個函數(shù)的反函數(shù)必須標(biāo)明反函數(shù)的定義域，反函數(shù)的定義域不能單從反函數(shù)的表達(dá)式上求解，而是求原函數(shù)的值域 .求反函數(shù)的表達(dá)式的過程就是解（關(guān)于 x 的）方程的過程 .注意：函數(shù)的反函數(shù)是唯一的，尤其在開平方過程中一定要注意正負(fù)號的確定 . ［舉例］ 函數(shù) ])2,((),22(lo g)( 22 ??????? xxxxf 的反函數(shù)為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ . 分析： 令 )22(log 22 ??? xxy ，則 12)1(222 22 ??????? yy xxx .因為 2??x ，所以 1???x ，則121 ???? yx ， 121 ???? yx .又原函數(shù)的值域為 ),1[?? ，所以原函數(shù)的反函數(shù)為 )1(121)(1 ?????? xxf x.（若是從反函數(shù)表達(dá)式得 012 ??x 求得 0?x 就不是反函數(shù)的定義域） . 1 原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域；原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線 xy? 對稱；若函數(shù) )(xfy? 的定義域為 A，值域為 C， CbAa ?? , ,則有 aaffbbff ?? ?? ))((,))(( 11 . )()( 1 bfaafb ???? .需要特別注意一些復(fù)合函數(shù)的反函數(shù)問題 .如 )2( xfy? 反函數(shù)不是 )2(1 xfy ?? . ［舉例 1］ 已知函數(shù) )(xfy? 的反函數(shù)是 )(1 xfy ?? ，則函數(shù) )43(2 1 ?? ? xfy 的反函數(shù)的表達(dá)式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ . 分析： 求函數(shù)的反函數(shù)是解方程的過程，即用 y 表示 ,x 然后將 yx, 互換即得反函數(shù)的表達(dá)式 .由 )43(2 1 ?? ? xfy 可得]4)2([31)2(432)43(1 ????????? yfxyfxyxf .所以函數(shù) )43(2 1 ?? ? xfy 的反函數(shù)為 ]4)2([31 ?? xfy . [舉例 2]已知??????? ?? 02,)(log 0,2)( 2 xx xxfx ，若 3)(1 ?? af ，則 ?a ＿＿＿＿ . 分析： 由 3)(1 ?? af 得 )3(fa? ，所以 8?a . 1 判斷函數(shù)的單調(diào) 性可用有關(guān)單調(diào)性的性質(zhì)（如復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性），但證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義，不能用關(guān)于單調(diào)性的任何性質(zhì)，用定義證明函數(shù)
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