新人教b版高中數(shù)學必修5222等差數(shù)列前n項和(完整版)
【正文】 ∴ Sm+n＝ 0 【例 6】 已知等差數(shù)列 {an}中， S3=21， S6=64，求數(shù)列｛ |an|｝的前 n項和 Tn． 分析 n S = na d an 1 1等差數(shù)列前 項和 ＋ ，含有兩個未知數(shù) ，n n( )? 12 d，已知 S3 和 S6 的值，解方程組可得 a1 與 d，再對數(shù)列的前若干項的正負性進行判斷，則可求出 Tn 來． 解 d S na d3a 3d = 21ba 15d = 24n 111設公差為 ，由公式 ＝ ＋得 ＋＋n n( )????12 解方程組得： d＝－ 2， a1＝ 9 ∴ an＝ 9＋ (n－ 1)(n－ 2)＝－ 2n＋ 11 由 ＝－ ＋ ＞ 得 ＜ ，故數(shù)列 的前 項為正，a 2n 11 0 n = 5 . 5 {a } 5n n112 其余各項為負．數(shù)列 {an}的前 n 項和為： S 9n ( 2) = n 10nn 2＝ ＋ － － ＋n n( )? 12 ∴當 n≤ 5 時， Tn＝－ n2＋ 10n 當 n＞ 6 時， Tn＝ S5＋ |Sn－ S5|＝ S5－ (Sn－ S5)＝ 2S5－ Sn ∴ Tn＝ 2(－ 25＋ 50)－ (－ n2＋ 10n)＝ n2－ 10n＋ 50 即 － ＋ ≤－ ＋ ＞ ∈T = n 1 0 n n 5n 10n 5 0 n 6 n *n 22????? N 說明 根據(jù)數(shù)列 {an}中項的符號，運用分類討論思想可求｛ |an|｝的前 n項和． 【例 7】 在等差數(shù)列 {an}中，已知 a6＋ a9＋ a12＋ a15＝ 34，求前 20 項之和． 解法一 由 a6＋ a9＋ a12＋ a15＝ 34 得 4a1＋ 38d＝ 34 又 ＝ ＋ S 20a d20 1 20 192 ＝ 20a1＋ 190d＝ 5(4a1＋ 38d)=5 34=170 解法二 S = (a + a ) 202 = 1 0 ( a a )20 1 20 1 20 ＋ 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得： a6＋ a15=a9＋ a12＝ a1＋ a20 ∴ a1＋ a20=17 S20＝ 170 【例 8】 已知等差數(shù)列 {an}的公差是正數(shù)，且 a3 ＋ a d = 11m nS m n am n m ndm n am ndm n? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ??12121211( )( )( )( )( ) =－ (m＋ n) 解法二 設 Sx＝ Ax2＋ Bx(x∈ N) Am Bm n An Bn m 22＋ ＝ ①＋ ＝ ②????? ①－②，得 A(m2－ n2)＋ B(m－ n)＝ n－ m ∵ m≠ n ∴ A(m＋ n)＋ B=－ 1 故 A(m＋ n)2＋ B(m
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