北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)21函數(shù)及其表示(完整版)
【正文】 已知 f ( x ) 滿足 2 f ( x ) ＋ f??????1x＝ 3 x ，求 f ( x ) ． [ 思路分析 ] 根據(jù)各自特點(diǎn)： ( 1) 可用拼湊法， ( 2) 可用換元法， ( 3) 可用待定系數(shù)法， ( 4) 可用解方程組的方法． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) ∵ f??????x ＋1x＝??????x ＋1x3－ 3??????x ＋1x， ∴ f ( x ) ＝ x3－ 3 x ， x ∈ ( － ∞ ，－ 2] ∪ [2 ，＋ ∞ ) ． ( 2) 令2x＋ 1 ＝ t ，則 x ＝2t － 1， ∴ f ( t ) ＝ lg2t － 1， ∴ f ( x ) ＝ lg2x － 1， x ∈ (1 ，＋ ∞ ) ． (3) 設(shè) f ( x ) ＝ ax ＋ b ，則 3 f ( x ＋ 1) － 2 f ( x － 1) ＝ 3 ax ＋ 3 a ＋ 3 b － 2 ax ＋ 2 a － 2 b ＝ ax ＋ b ＋ 5 a ＝ 2 x ＋ 17 ， ∴ a ＝ 2 ， b ＝ 7 ，故 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 7. (4) 2 f ( x ) ＋ f??????1x＝ 3 x ， ① 把 ① 中的 x 換成1x，得 2 f??????1x＋ f ( x ) ＝3x， ② ① 2 － ② 得 3 f ( x ) ＝ 6 x －3x， ∴ f ( x ) ＝ 2 x －1x. [ 方法總結(jié) ] 求函數(shù)解析式的常用方法有： ( 1) 代入法，用g ( x ) 代入 f ( x ) 中的 x ，即得到 f [ g ( x )] 的解析式； ( 2) 拼湊法，對(duì) f [ g ( x )] 的 解析式進(jìn)行拼湊變形，使它能用g ( x ) 表示出來，再用 x 代替兩邊的所有 “ g ( x ) ” 即可； ( 3) 換元法，設(shè) t ＝ g ( x ) ，解出 x ，代入 f [ g ( x )] ，得 f ( t ) 的解析式即可； ( 4) 待定系數(shù)法，若已知 f ( x ) 的解析式的類型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值，確定相關(guān)的系數(shù)即可； ( 5) 賦值法，給變量賦予某些特殊值，從而求出其解析式． ( 1) 已知 f (2 x ＋ 1) ＝ 4 x2＋ 2 x ＋ 1 ，求 f ( x ) ； ( 2) 若 2 f ( x ) － f ( － x ) ＝ x ＋ 1 ，求 f ( x ) ． [ 解析 ] (1 ) ∵ f (2 x ＋ 1) ＝ 4 x2＋ 2 x ＋ 1 ＝ (2 x ＋ 1)2－ (2 x ＋ 1) ＋ 1 ， ∴ f ( x ) ＝ x2－ x ＋ 1. (2) ∵ 2 f ( x ) － f ( － x ) ＝ x ＋ 1 ，用－ x 去替換式子中的 x ， 得 2 f ( － x ) － f ( x ) ＝－ x ＋ 1. 即有????? 2 f ? x ? － f ? － x ? ＝ x ＋ 1 ，2 f ? － x ? － f ? x ? ＝－ x ＋ 1. 解方程組消去 f ( － x ) ，得 f ( x ) ＝x3＋ 1. 分段函數(shù)問題 (1) 設(shè) f ( x ) ＝????? 1 ， x 0 ，0 ， x ＝ 0 ，－ 1 ， x 0 ， g ( x ) ＝????? 1 ， x 為有理數(shù)，0 ， x 為無理數(shù)，則 f ( g (π )) 的值為 ( ) A ． 1 B ． 0 C ．－ 1 D ． π ( 2) 已知函數(shù) f ( x ) ＝????? 2x， x 0 ，x ＋ 1 ， x ≤ 0.若 f ( a ) ＋ f ( 1) ＝ 0 ，則實(shí)數(shù)a 的值等于 ( ) A ．－ 3 B ．－ 1 C ． 1 D ． 3 [ 思路分析 ] 對(duì)于分段函數(shù)給定自變量求函數(shù)值時(shí)，應(yīng)根據(jù)自變量的范圍，利用相應(yīng)的解析式直接求解；若給定函數(shù)值求自變量，應(yīng)根據(jù)函數(shù)每一段的解析式分別求解，但應(yīng)注意檢驗(yàn)該值是否在相應(yīng)的自變量取值范圍之內(nèi)． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) g ( π ) ＝ 0 ， f ( g ( π ) ) ＝ f ( 0 ) ＝ 0 ，故選 B. ( 2) 依據(jù)題意， f ( a ) ＝－ f ( 1) ＝－ 21＝－ 2 ， ∵ 2x0 ， ∴ a ≤ 0 ， ∴ f ( a ) ＝ a ＋ 1 ＝－ 2 ，故 a ＝－ 3 ，故選A. [ 答案 ] ( 1) B ( 2) A [ 方法總結(jié) ] ( 1) 解決 與分段函數(shù)有關(guān)的問題，最重要的就是邏輯劃分思想．即將問題分段解決，還要熟練掌握研究分段函數(shù)性質(zhì)的一般方法． ( 2) 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)．處理分段函數(shù)問題時(shí)，首先要確定自變量的取值屬于哪個(gè)區(qū)間段，再選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，離開定義域討論問題是產(chǎn)生錯(cuò)誤的重要原因之一．
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