【正文】 C ． 3 個 D ． 4 個 [ 答案 ] C 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 解析 ] s i n ( B ＋ C ) ＝ s i n ( π － A ) ＝ s i n A ， ① 正確． c o s ( B ＋C ) ＝ c o s ( π － A ) ＝－ c o s A ， ② 錯誤． t a n ( B ＋ C ) ＝ t a n ( π － A )＝－ t a n A ， ③ 錯誤． t a n (2 B ＋ 2 C ) ＝ t a n (2 π － 2 A ) ＝－ t a n 2 A ，④ 錯 誤． c o s (2 B ＋ 2 C ) ＝ c o s (2 π － 2 A ) ＝ c o s2 A ， ⑤ 正確． si n????????A2＋B2＝ si nπ － C2＝ c osC2， ⑥ 正確．故選 C. 易錯究源 6 因忽視角的范圍致誤 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 例 已知 s i n (2 α － β ) ＝35， si n β ＝－1213，且 α ∈????????π2， π ，β ∈????????－π2， 0 ，求 s in α 的值． 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 錯解 由 si n (2 α － β ) ＝35，得 c o s (2 α － β ) ＝ 177。????????－1213＝5665. 又 c o s2 α ＝ 1 － 2 si n2α ， ∴ si n2α ＝91 3 0. 又 α ∈????????π2， π ， ∴ si n α ＝3 1 3 01 3 0. 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 自我檢評 ( 1 ) [ 2 0 1 2 ( s i n 2 － c o s2 ) D ． si n 2 ＋ c o s2 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 答案 ] ( 1 ) A (2 ) A [ 解析 ] ( 1 ) ∵ s i n θ ＋ c o s θ ＝15， ∴ 2 s i n θ c o s θ ＝－2425， θ ∈????????π2，3 π4， ∴2 si n θ c o s θsi n2θ ＋ c o s2θ＝－2425， ∴2 t a n θt a n2θ ＋ 1＝－2425， ∴ 1 2 t a n2θ ＋ 25 t a n θ ＋ 12 ＝ 0 ， 根據(jù)角的范圍得到 t a n θ ＝－43. ( 2 ) 1 － 2 si n ( π ＋ 2) c o s ( π ＋ 2) ＝ s i n22 ＋ c o s22 － 2 s i n 2 c o s 2 ＝( si n 2 － c o s 2 )2， ∵π22 2 π3， ∴ si n 2 － c o s 2 0 . 故選 A. 返回目錄 教師備用題 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 備選理由 例 1 對于 si n α co s α ， si n α ＋ co s α ， s i n α －co s α ，借助同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可知一求二，是對探究點一和二的補充；例 2 對題中的角含有 k π 177。 si n β ＝ 177。 1 . ∴ 選 B. ( 2 ) ∵ si n ( π － α ) ＝－ 2 si n????????π2＋ α ，∴?????si n α ＝－ 2 c o s α ，si n2α ＋ c o s2α ＝ 1 ， ∴ ( si n α c o s α )2＝425. 又 si n α c o s α ＜ 0 ， ∴ s i n α c o s α ＝－25. 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 點評 熟練運用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號是解題成敗的關(guān)鍵．觀察已知角與所求角之間的關(guān)系，合理選用誘導(dǎo)公式，將不同名的化為同名，將不同角的化為同角． 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 歸納總結(jié) ① 應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點是 “ 函數(shù)名稱 ” 與 “ 正負(fù)號 ” 的正確判斷．求任意角的三角函數(shù)值的問題，都可以通過誘導(dǎo)公式 化為銳角三角函數(shù)的求值問題． ② 將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)的流程：任意角的三角函數(shù) → 任意正角的三角函數(shù) → 0 176。 ) ＝ t a n 2 1 2 176。深圳調(diào)研 ] t a n 2 0 1 2 176。 ( 3) 179。 α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式． 考試大綱 一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 1 ． 平方關(guān)系： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，其等價形式為：si n2α ＝ 1 － co s2α ， co s2α ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 2 ． 商數(shù)關(guān)系： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，其等價形式為： s i nα ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， co s α ＝si n αt a n α. 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 —— 知 識 梳 理 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) si n 2 α ＋ co s 2 α ＝ 1 1 － s i n 2 α t a n α ＝ sin αco s α t a n α co s α 二 、 六組誘導(dǎo)公式 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋ α (k∈ Z) π＋ α － α π－ α － α ＋ α 正弦 sinα ______ ______ sinα ______ ______ 余弦 cosα ______ cosα ______ ______ ______ 正切 tanα tanα ______ ______ 口訣 函數(shù)名不變，符號看象限 函數(shù)名改變， 符號看象限 － sinα － sinα co sα － co sα sinα－ tan α co sα－ co sα － sinα － tan α —— 疑 難 辨 析 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 1 ． 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 ( 1 ) si n2α ＋ c o s2α ＝ 1 ， t a n α ＝s in αc o s α中角α ∈ R .( ) ( 2 ) 知道 s i n α ， c o s α ， t a n α 中任意一個值，根據(jù)同角 三角函數(shù)關(guān)系式便可以求出另外兩個． ( ) ( 3 ) 已知 si n θ ＝m － 3m ＋ 5， c o s θ ＝4 － 2 mm ＋ 5，其中θ ∈????????π2， π ，則 m － 5 或 m ≥ 3 . ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 答案 ] ( 1 ) 179。35＋45＝ 2 ； 若角 α 終邊在第二象限，則 P ( － 4 ， 3) ， 2 si n α ＋ c o s α ＝ 2 179。 . 又 α 是銳角，所以 α ＝ 20 176。杭州模擬 ] 已知角 α 的終邊經(jīng)過點 ( 3 a － 9 ， a＋ 2) ，且 c o s α ≤ 0 ， si n α 0 ，則實數(shù) a 的取值范圍是 ( ) A ． ( － 2 ， 3 ] B ． ( － 2 ， 3) C ． [ － 2 ， 3 ) D ． [ － 2 ， 3] 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) t a n α ＝c o s5 0 176。佛山模擬 ] 已知點 P ( t a n α ， c o s α ) 在第三象限，則角 α 的終邊在 ( ) A ． 第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 思考流程 (1 ) 分析：設(shè)點 P ( x0， y0)( x0≠ 0 ) 是 θ 終邊上一點，則 y0＝ 2 x0， t a n θ ＝y(tǒng)0x0＝ 2 ；推理： c o s2 θ ＝ c o s2θ － s i n2θ ＝c o s2θ － s i n2θc o s2θ ＋ s i n2θ＝1 － t a n2θ1 ＋ t a n2θ；結(jié)論：得出 co s 2 θ 的值． ( 2 ) 分析：點 P 在第三象限， t a n α ＜ 0 ，且 c o s α ＜ 0 ；推理：由 t a n α ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第四象限，由 c o sα ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第三象限，或 x 軸的非正半軸上；結(jié)論： α 的終邊在第二象限． [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) B 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 設(shè)點 P ( x0， y0)( x0≠ 0 ) 是 θ 終邊上一點，則 y0＝ 2 x0. 由三角函數(shù)定義， t a n θ ＝y(tǒng)0x0＝ 2 ，則 c o s2 θ ＝ c o s2θ －s in2θ ＝c o s2θ － s i n2θc o s2θ ＋ s i n2θ＝1 － t a n2θ1 ＋ t a n2θ＝1 － 221 ＋ 22＝－35. ( 2 ) ∵ 點 P ( t a n α ， c o s α ) 在第三象限， ∴ t a n α ＜ 0 ，且 c o s α ＜ 0. 由 t a n α ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第四象限， 由 c o s α ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第三象限，或 x 軸的非正半軸上，因此角 α 的終邊在第二象限． 點評 (1)已知角 θ的終邊所在的直線方程，可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo)，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題． (2)主要利用三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律，但要注意角 α是滿足兩個條件的公共解． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 歸 納 總結(jié) ① 三角函數(shù)的定義中， P ( x ， y ) 是單位圓上的點才有 si n α ＝ y ， c o s α ＝ x ， t a n α ＝y(tǒng)x，但是若不是單位圓時，如圓的半徑為 r ，則 s i n α ＝y(tǒng)r， c o s α ＝xr， t a n α ＝y(tǒng)x. ② 若已知角 α 的終邊上有異于原點的點的坐標(biāo) A ( x ，y ) ，求角 α 的三角函數(shù)值時，則應(yīng)先求 | OA |＝ r ，然后再利用定義 s i n α ＝y(tǒng)r， c o s α ＝xr， t a n α ＝y(tǒng)x求解． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 變式題 ( 1 ) [ 2 0 1 2 ( 3 ) 179。 ， k ∈ Z . ∴當(dāng)角 α 的終邊在坐標(biāo)軸上時，可表示