【正文】 － D P － D’ P’ （ a） （ b） 圖 小偷與守衛(wèi)的混合策略 ② 代數(shù)方法 求解 設(shè)小偷選擇偷的概率為 pt，則選擇不偷的概率為 1Pt，那么守衛(wèi)選擇睡覺的期望支付為 E睡 =(D) Pt﹢ S (1Pt)=S(D+S) Pt 守衛(wèi)選擇不睡覺的期望支付為 E不睡 =0 Pt﹢ 0 (1Pt)=0 要達(dá)到一種均衡狀態(tài)，小偷選擇偷與不偷不能讓守衛(wèi)在選擇睡覺與不睡覺之間有明顯的傾向性。 下面用一個(gè)例子說明重復(fù)剔除嚴(yán)格劣勢策略的求解方法。由此可見，在求 Nash均衡解前，先用重復(fù)剔除嚴(yán)格劣勢策略法，即使常常不能求出 Nash均衡解，也可能簡化博弈問題。 反應(yīng)函數(shù)即一博弈方對另一博弈方每一可能策略的最佳反應(yīng)策略所構(gòu)成的函數(shù)。u1,?,u n}，假設(shè)博弈方 i的策略集合為 Si={si1,?,s ik}， pik表示博弈方 i選擇純策略 k的概率，則概率分布 Pi=(pi1,?,p ik)稱為博弈方 i的一個(gè)混合策略，其中， 0≤ pik≤ 1對所有 k（ k=1,?,K ） 都成立，且 pi1+? +pik=1。 混合策略 Nash均衡解 求 Nash均衡解的反應(yīng)函數(shù)法可以應(yīng)用于求混合策略 Nash均衡解。 y 1 2/5 0 x 1 混合策略 Nash均衡解的求解方法 同理乙的期望收益應(yīng)為 e2(x,y)=2xy+x(1y)+3(1x)y+4(1x)(1y) =y(2x1)+43x 乙的反應(yīng)函數(shù)，即 x值固定的情況下，使得 e2最大的 y的取值： 若 x1/2時(shí)，則當(dāng) y=0時(shí)， e2達(dá)到最大，且 e2=43x； 若 x=1/2時(shí)，對任意 0≤y≤1 ， e2都達(dá)到最大，且 e2=5/2； 若 x1/2時(shí)，當(dāng) y=1時(shí)， e2達(dá)到最大，且 e2=3x。在不同的博弈結(jié)構(gòu)下，有不同類型的合作，因而“共贏”有不同的含義。如某個(gè)市場上兩家企業(yè) A、 B共同開發(fā)市場比單個(gè)企業(yè)開發(fā)市場有利，其條件是： V(A,B)≥V(A)+V(B) 。夏普利值是合作博弈 (聯(lián)盟博弈)中的最重要的概念。若按照這樣的方案分配，它是可理解的，兩人的期望貢獻(xiàn)均為 c/2，分配也應(yīng)該一樣，為 c/2。 夏普利值 排列 ABC ACB BAC BCA CAB CBA A 0 0 200 150 150 150 B 200 100 0 0 100 100 C 50 150 50 100 0 0 企業(yè)家的創(chuàng)造性也體現(xiàn)在他們能夠在他人看不到的地方建立聯(lián)盟。 50年代，雷 由此我們看到，麥當(dāng)勞總部與加盟者之間構(gòu)成一個(gè)合作性的聯(lián)盟：希望加盟者加入到麥當(dāng)勞的行列中來能夠獲得確定的利益，而麥當(dāng)勞總部獲得加盟費(fèi)以及分得一定的經(jīng)營利潤。分析該問題的納什均衡。 兩參與人博弈支付矩陣表 。 案例分析 博弈的分類 ，由你來當(dāng)“司令”，任務(wù)是攻克“敵人”占據(jù)的一座城市，而敵軍的守備力量是三個(gè)師，規(guī)定雙方的兵力只能整師調(diào)動。此時(shí)，麥當(dāng)勞公司成立了。它的成功因素是多方面的，然而其中一個(gè)重要因素便是“構(gòu)建聯(lián)盟”。 夏普利值 三個(gè)參與人 A、 B、 C，各個(gè)聯(lián)盟的特征值為 V(A)=V(B)=V(C)=0， V(A,B)=200， V(A,C)=150， V(B,C)=100， V(A,B,C)=250 聯(lián)盟 ABC可能的排列與邊際貢獻(xiàn)計(jì)算如下表所示。因此，參與人從聯(lián)盟中獲得利益的多少，取決于或正比于他對聯(lián)盟的貢獻(xiàn)或可能貢獻(xiàn) (期望貢獻(xiàn) )。 提供同種產(chǎn)品的企業(yè)相互合作的形式能夠有多種。 在很多情況下，將一個(gè)復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)場景轉(zhuǎn)化成一個(gè)嚴(yán)格的非合作博弈模型可能比較困難，而轉(zhuǎn)化為合作博弈框架則可簡化對場景細(xì)節(jié)的描述，突出結(jié)果的形成。 y y 1 1 2/5 x x 0 1/2 1 0 1/2 1 混合策略 Nash均衡解的求解方法 由圖可知，得到雙方反應(yīng)函數(shù)的三個(gè)交點(diǎn)： (1) x=0， y=0，即甲、乙選擇策略對 (Ⅰ 2， Ⅱ 2)，收益值為 (4,4)； (2) x=1， y=1，即甲、乙選擇策略對 (Ⅰ 1， Ⅱ 1)，收益值為 (3,2)； (3) x=1/2， y=2/5，對應(yīng)的混合策略對為 ((1/2,1/2),(2/5,3/5))，收益值為 (,)。 [例 ] 有博弈問題如下，求其 Nash均衡解 。 Nash在 1950年提出了討論 Nash均衡解存在性的定理，后被稱為 Nash定理。 博弈方 1與 2的收益函數(shù)分別為 u1， u2且 u1=6q1q1q2q12 u2=6q2q1q2q22 博弈方 1針對博弈方 2的任一策略 q2的策略選擇是求最大化問題 Max u1=max(6q1q1q2q12) q1 令 u1對 q1的導(dǎo)數(shù)等于零，可得 q1=R1(q2)=1/2(6q2) 這就是博弈方 1對博弈方 2任一策略 q2的最佳反應(yīng)，即是其反應(yīng)函數(shù)。 博弈方 Ⅱ 左 中 右 上 博弈方 Ⅰ 下 博弈方 Ⅰ 考慮，若 Ⅱ 方取左策略，自己的最大收益為 1，故在 1下面劃一條短線；若 Ⅱ 方取中策略，自己的最大收益也為 1，故在第二列數(shù)字 1下面劃一條短線；若 Ⅱ 方取右策略，自己的最大收益為 2，故在 2下面劃一條短線。從博弈方 Ⅰ 來看，其上下策略中沒有哪一個(gè)是嚴(yán)格劣勢策略，但從博弈方 Ⅱ 來看，右策略嚴(yán)格劣于中策略，故可將右策略剔除。由此可見，加重對失職守衛(wèi)的懲罰，在長期中會起到抑制盜竊的作用；當(dāng)對守衛(wèi)實(shí)施的懲罰不變，而提高其待遇，意味著 S的增加，反而會使盜竊現(xiàn)象更為嚴(yán)重（ Pt增加）。 3， 3 2， 0 0， 2 0， 0 博弈的分類 小豬 按 等 按 大豬 等 豬圈里有一大一小兩頭豬，豬圈的一端有一個(gè)豬食槽，另一端安裝了一個(gè)控制豬食供應(yīng)的按鈕。但是在選定合作方案的時(shí)候，由于各種因素，在攜手合作的大前提下，還是可能有小算盤的考慮。人們對電視節(jié)目的喜愛存在著一定的檔次差異，因此電視臺對節(jié)目的編排將直接影響到收視率。太陽的照射使人們需要補(bǔ)充水分。那么，兩家雜貨店開在什么地方好呢？ 商品一樣，價(jià)格也一樣，居民到哪個(gè)雜貨鋪買東西，就