利率期限結(jié)構(gòu)模型(完整版)
【正文】 率函數(shù) 來(lái)說(shuō)，顯然有 。不同于多項(xiàng)式樣條法的是，其參數(shù)估計(jì)必須采用非線性最優(yōu)化。 均衡模型是一種由均衡分析方法得出的模型，它從假設(shè)一些經(jīng)濟(jì)變量開(kāi)始，推出短期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的一個(gè)過(guò)程，然后尋找該過(guò)程對(duì)債券價(jià)格和期權(quán)價(jià)格的含義。 貼現(xiàn)債 券利率的波 動(dòng) 率由下式 給 出：CIR模型 CIR模型假 設(shè) 短期利率的 風(fēng)險(xiǎn) 中性 過(guò) 程 為 ： 于是， 貼現(xiàn)債 券價(jià)格可以表示 為 ：其中，貼現(xiàn)債 券利率的波 動(dòng) 率由下式 給 出：套利模型在套利模型中，假設(shè)在時(shí)間 T到期的貼現(xiàn)債券在時(shí)間 t的價(jià)格 的相對(duì)變化滿足如下 Ito過(guò)程：其中， 為貼現(xiàn)債券價(jià)格 在時(shí)間 t的預(yù)期瞬間收益； 為貼現(xiàn)債券價(jià)格在時(shí)間 t的瞬時(shí)波動(dòng)； W為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。二項(xiàng)式過(guò)程Ho and Lee (1986)假定利率期限結(jié)構(gòu)移動(dòng)遵循二項(xiàng)式過(guò)程隨時(shí)間變化。求解上述一階線性差分方程，得：故：為風(fēng)險(xiǎn)中性概率： 由 ()式，可以推 導(dǎo) 出：利率期限結(jié)構(gòu)在第 i種狀態(tài)下剩余到期期限為 T的貼現(xiàn)債券的時(shí)間 n的價(jià)格用初始利率期限結(jié)構(gòu)表示如下： 將 ()式和 ()式代入上式，得：特 別 的，當(dāng) T=1時(shí) ， 債 券價(jià)格 為 ：于是，短期利率 為 ：設(shè)隱含二項(xiàng)概率為 q，則 是關(guān)于 i的一個(gè)二項(xiàng)分布，均值為：方差 為 ：連續(xù)時(shí)間形式的 HoLee模型 連續(xù)時(shí)間形式的 HoLee模型實(shí)際上是單因素 HJM模型的一個(gè)特例。 三月 21三月 2100:06:5700:06:57March 12, 20231他鄉(xiāng)生白發(fā)，舊國(guó)見(jiàn)青山。 三月 2100:06:5700:06Mar2112Mar211世間成事，不求其絕對(duì)圓滿，留一份不足，可得無(wú)限完美。 三月 21三月 21Friday, March 12, 2023閱讀一切好書(shū)如同和過(guò)去最杰出的人談話。 2023/3/12 0:06:5700:06:5712 March 20231一個(gè)人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。 三月 2100:06:5700:06Mar2112Mar211越是無(wú)能的人，越喜歡挑剔別人的錯(cuò)兒。 三月 21三月 2100:06:5700:06:57March 12, 20231意志堅(jiān)強(qiáng)的人能把世界放在手中像泥塊一樣任意揉捏。 。于是，模型的貼現(xiàn)債券價(jià)格可以由時(shí)間 t的短期利率以及當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)表示：其中，或由貼現(xiàn)債券利率 ，以及當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)表示如下：其中，HullWhite模型 HullWhite模型實(shí)際上也是單因素 HJM模型的一個(gè)特例。當(dāng)利率上升時(shí)，該價(jià)值向 運(yùn)動(dòng)，當(dāng)利率下降時(shí)，該價(jià)值向 運(yùn)動(dòng)。根據(jù) Ito引例解上面隨機(jī)微分方程（ stochastic differential equation），得到：可以從方程中消除短期利率，過(guò)程如下：首先，利用條件 ，得到：上面兩式相除，得：上式表明，債券的價(jià)格僅取決于當(dāng)前的期限結(jié)構(gòu)以及波動(dòng)性結(jié)構(gòu) 根據(jù) ()式，還可以推出到期期限為 T的貼現(xiàn)債券在時(shí)間 t的利率，以及在時(shí)間 t計(jì)算的，起息日為時(shí)間 T的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率，由：可以推得：其中， 為瞬間遠(yuǎn)期利率 的波動(dòng)，它滿足：由 ()式， 還 可以得到：GHIJKLMABCDEF 圖 重組樹(shù) 圖 非重組樹(shù)離散時(shí)間形式的 HoLee模型 基本假設(shè)Ho and Lee (1986)假定市場(chǎng)滿足離散狀態(tài)時(shí)間框架下
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