高一數(shù)學命題及其關系(完整版)
【正文】 況：“ a、 b、 c三數(shù)均小于 1”和“ a、 b、 c中有兩數(shù)小于 1”．由此作為基礎，推出矛盾． 證明 假設 a， b， c中至多有一個不小于 1，這包含下面兩種情況： ① a、 b、 c三數(shù)均小于 1，即 0a1,0b1,0c1， 則 ＞ 1， ＞ 1， ＞ 1， ∴ ＋ ＋ 3，與已知條件矛盾． ② a、 b、 c中有兩數(shù)小于 1，設 0a1,0b1，而 c≥1， 則 ＞ 1， ＞ 1， ∴ ＋ ＋ 2＋ 2，也與已知條件矛盾． ∴ 假設不成立， ∴ a、 b、 c中至少有兩個不小于 1. a1a1a1a1b1b1b1b1c1c1c1c1規(guī)律總結(jié) 反證法有兩種情形：其一，利用互為逆否的兩個命題同真同假的關系，將不易判斷真假的命題，轉(zhuǎn)化為易判斷真假的逆否命題 (尤其是對否定語句的命題 )，充分利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法，此時證明的命題為原命題的逆否命題．其二，假設結(jié)論不成立，利用已知條件，推出與已知或已知定理相矛盾的結(jié)論，此時證明的命題不再是原命題的否命題．總之，不論哪種情形的反證法，正確的反設，是正確運用反證法的前提． 變式訓練 4 已知 a、 b、 c是互不相等的非零實數(shù)． 求證：三個方程 ax2＋ 2bx＋ c＝ 0， bx2＋ 2cx＋ a＝ 0， cx2＋ 2ax＋ b＝ 0至少有一個方程有兩個相異實根． 【 證明 】 (反證法 )假設三個方程中都沒有兩個相異實根， 則 Δ1＝ 4b2－ 4ac≤0， Δ2＝ 4c2－ 4ab≤0， Δ3＝ 4a2－4bc≤0. 上述三個不等式兩邊分別相加有 a2－ 2ab＋ b2＋ b2－ 2bc＋ c2＋ c2－ 2ac＋ a2≤0， 即 (a－ b)2＋ (b－ c)2＋ (c－ a)2≤0. ① 由題意 a、 b、 c互不相等， ∴ ①式不能成立． ∴ 假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根． 1．否命題是將原命題的條件否定后作條件，將原命題的結(jié)論否定后作結(jié)論得到的命題．寫否命題最容易出現(xiàn)錯誤，學習中要注意掌握以下常見詞語和其否定詞語 . 原詞語 等于 大于 小于 是 都是 至多有一個 至多有 n個 至少有一個 任意的 任意兩個 p或q 能 否定詞語 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 至少有兩個 至少有 n＋ 1個
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