高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列(完整版)
【正文】 N*? ∴ b1＋ b2＋ b3＋ … ＋ b2 n － 1 ＝ a1＋ a3＋ a5＋ … ＋ a2 n － 1 ＝4 [ 1 － ?14?n]1 －14＝163[ 1 － (14)n] 163. 變式探究 21 ： ( 2020 年安徽宿州質(zhì)檢 ) 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 { a n } 中 ， 首項(xiàng) a 1 ＝ 3 ，前三項(xiàng)和為 21 ， 則 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ _ ____ ___. 解析： 由已知， a 1 ( 1 ＋ q ＋ q2) ＝ 21 ， ∵ a 1 ＝ 3 ， ∴ 1 ＋ q ＋ q2＝ 7 ， ∴ q2＋ q － 6 ＝ 0 ， ∴ ( q － 2 )( q ＋ 3 ) ＝ 0 ， ∴ q ＝ 2 或 q ＝－ 3 ( 舍 ) ， ∴ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ a 3 ( 1 ＋ q ＋ q2) ＝ a 1 q2( 1 ＋ q ＋ q2) ＝ 84. 答案： 84 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 【 例 3】 (2020年高考廣東卷 )已知等比數(shù)列 {an}滿足 an0， n＝ 1,2， … ， 且 a5an＝ ap an ＋ 2≠ 0. 在解題中，要注意根據(jù)要證明的問題，對(duì)給出的條件合 理地變形 ( 如本題 ) ，構(gòu)造出符合等比數(shù)列定義式的形式，從而證明或判斷結(jié)論 ． 等比數(shù)列中的基本運(yùn)算 【例 2 】 ( 2 0 1 0 年浙江五校 模擬 ) 已知等比數(shù)列 { a n } 的公比為 q ( 0 q 1 ) ， a 2 ＋ a 5 ＝94， a 3 a 3＝ 2 a 1 ， 且 a 4 與 2 a 7 的等差中項(xiàng)為54， 則 S 5 等于 ( ) ( A ) 35 ( B ) 33 ( C ) 31 ( D ) 29 解析： 設(shè)數(shù)列 { a n } 的公比為 q ，則 ????? a 1 q 216， 故選 D. 錯(cuò)解分析： 錯(cuò)解的原因是沒有判斷 a3的符號(hào) ， 事實(shí)上在等比數(shù)列中各項(xiàng)符號(hào)有三種情況： ① 各項(xiàng)為正 ， ② 各項(xiàng)為負(fù) ， ③ 正負(fù)相間 ． 本例中 a3＝ a1q2的項(xiàng)時(shí) ， 注意符號(hào)判斷 ． 正解： 由等比數(shù)列的性質(zhì)得 a32＝ a1 a 4 ＝ ( 4 2 )2＝ 32 ， 從而 a 2 q3， ∴ q3＝ 8 ， ∴ q ＝ 2 ，故選 A. 3.(2020年溫州市二模 )已知 {an}是等比數(shù)列，若 a60，則 a6a8是a6a7的 ( B ) (A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件 解析： a60， a6a8即 q21， a6a7即 q1，本題相當(dāng)于判斷 q21是 q1的什么條件，顯然是必要而不充分條件，故選 B. 4 ． 設(shè)等比數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn， 若 S6∶ S3＝ 1 ∶ 2 ， 則 S9∶ S3等于 ( C ) ( A ) 1 ∶ 2 ( B ) 2 ∶ 3 ( C ) 3 ∶ 4 ( D ) 1 ∶ 3 解析：法一： ∵ S6∶ S3＝ 1 ∶ 2 ， ∴ { an} 的公比 q ≠ 1. 由a1? 1 － q6?1 － q247。 ② 得q21 ＋ q ＋ q2 ＝17， 解得 q ＝－13( 舍 ) ，或 q ＝12， ∴ a1＝ 4 ，則 S5＝a1? 1 － q5?1 － q＝4 ? 1 －125 ?1 －12＝314，故選 B. 錯(cuò)源：等比數(shù)列中的項(xiàng)的符號(hào)規(guī)律不清致誤 【 例題 】 已知等比數(shù)列 {an}中 ， a1＝ 2， a5＝ 18， 則 a2a3a4等于 ( ) (A)36 (B)216 (C)177。a5＝12， ∴ a2， a5是方程 x2－94x ＋12＝ 0 的兩個(gè)根 ， 解之得 x1＝ 2 ， x2＝14. ∵ 0 q 1 ， ∴ a2＝ 2 ， a5＝14， ∴ 由 a2q3＝ a5得 q ＝12， ∴ an＝ a2qn － 2＝ 2第 3節(jié) 等比數(shù)列 考綱展示 考綱解讀 ． 1．等比數(shù)列是高考必考內(nèi)容，在選擇題、填空題及解答題中都有可能出現(xiàn)，屬低、中檔題． n項(xiàng)和公式． 2．重點(diǎn)考查等比數(shù)列定義、基本運(yùn)算、性質(zhì) (特別是等比中項(xiàng)的性質(zhì) )、通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和公式等． 3．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 3．常與等差數(shù)列或函數(shù)、不等式結(jié)合形成綜合問題，是高考考查的熱點(diǎn)，中等偏上難度． 4．能利用等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和． 5．能運(yùn)用數(shù)列的等比關(guān)系解決實(shí)際問題． 1 ． 等比數(shù)列的定義 一般地 ， 如果一個(gè)數(shù)列從 第 2 項(xiàng) 起 ， 每一項(xiàng)與它的 前一項(xiàng) 的比等于同一常數(shù) ， 那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列 ， 這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 ， 公比通常用字母 q ( q ≠ 0 ) 表示 ． 定義的符號(hào)表示是a n ＋ 1a n＝ q ( q 是常數(shù)且 q ≠ 0 ， n ∈ N*) ， 或a na n － 1＝ q (
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