數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)-第二講-整-除(完整版)
【正文】 例2： 設(shè)和均為自然數(shù),使得 證明：可被1979整除. (第21屆IMO試題) 【證明】===1979 兩端同乘以1319！得1319！ 此式說(shuō)明1979|1319！由于1979為質(zhì)數(shù)，且1979 1319！，故1979| 【評(píng)述】把1979換成形如的質(zhì)數(shù)，1319換成，命題仍成立. 牛頓二項(xiàng)式定理和為偶數(shù)), 為奇數(shù))在整除問(wèn)題中經(jīng)常用到. 例3 ：對(duì)于整數(shù)與，定義求證：可整除（1996加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 【證明】當(dāng)時(shí)， 由于[…]能被整除，所以能被整除，另一方面， 上式中[…]能被整除，+1互質(zhì)，所以能被（2+1）（即）整除. 類(lèi)似可證當(dāng)時(shí)，F(xiàn)（2+1，）能被F（2+1,1）整除. 故能被整除. 例4 ：求一對(duì)整數(shù)，滿(mǎn)足：(1)不能被7整除；（2）能被77整除. (第25屆IMO試題) 【解】= = 根據(jù)題設(shè)要求(1)(2)知，即 令即即，則故可令即合要求.(第15屆美國(guó)普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 【評(píng)述】數(shù)學(xué)歸納法在整除問(wèn)題中也有廣泛應(yīng)用. 例5：是否存在1000000個(gè)連續(xù)整數(shù)，使得每一個(gè)都含有重復(fù)的素因子，即都能被某個(gè)素?cái)?shù)的平方所整除？ 【解】：對(duì)任何正整數(shù)存在個(gè)連續(xù)的整數(shù)，使得每一個(gè)都含有重復(fù)的素因子. 當(dāng)=1時(shí)，. 假設(shè)當(dāng)=時(shí)命題成立,即有個(gè)連續(xù)整數(shù),它們分別含有重復(fù)的素因子,任取一個(gè)與都不同的素?cái)?shù)(顯然存在),當(dāng)時(shí),這個(gè)數(shù)中任兩個(gè)數(shù)的差是形如的數(shù),不能被整除,故這個(gè)數(shù)除以后,，1，…，－1這個(gè)，從而恰有一個(gè)數(shù)，（個(gè)連續(xù)整數(shù)： 2，…，（+1）分別能被整除，. 例6：求證：（第1屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題） 【證明
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