【正文】 成矩陣形式為： x x y x z x x y x zij y x y y z y y zzx zy z z? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ???? ?????????? ??????3）主應(yīng)力和應(yīng)力張量不變量 （ 1） 主應(yīng)力 定義：切應(yīng)力為零的面為主平面，主平面上作用的應(yīng)力為主應(yīng)力。展開行列式并考慮應(yīng)力張量的對稱性，則得 : (47) ? ?? ?( ) 000x y x z xx y y z yx z y z zl m nl m nl m n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ??32 1 2 3 0J J J? ? ?? ? ? ?2 2 2 1l m n? ? ?式中： （ 48） （ 47）式稱為應(yīng)力狀態(tài)特征方程。我們把 J J2 、 J3稱為應(yīng)力張量第一、第二和第三不變量。主剪應(yīng)力平面上的正應(yīng)力為： 2 3 2 31 ()2? ? ??? 3 1 3 11 ()2? ? ??? 12 1 21 ()2? ? ???（ 2）最大剪應(yīng)力 定義：絕對值最大的主剪應(yīng)力，即受力質(zhì)點(diǎn)所有方向的切面上剪應(yīng)力最大值稱為最大剪應(yīng)力。在應(yīng)力偏張量中不再包含各向等應(yīng)力的成分，應(yīng)力偏張量不會引起物體體積變化。 39。 39。 ij?( , , )x f x y z? ?( , , ) ( , , ) xxx ff x d x y z f x y z d x d xxx ??? ??? ? ? ? ? ???圖 419 直角坐標(biāo)系 點(diǎn)鄰區(qū)的應(yīng)力分量 微體靜力平衡，由平衡條件 得： 整理后得： 同理有： （ 411） 0xF ??( ) ( ) ( )0yxx z xx y x z x xy x z xd x d y d z d y d z d x d z d x d y d y d zxyzd z d x d x d y???? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ??????0yxx z xx y z??????? ? ?? ? ?000yxx zxx y y zyyzxz zx y zx y zx y z???? ? ??? ?? ???? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ????? ?? ? ? ?? ? ? ?? （ 411）式是求解塑性成形問題的基本方程。邊長為 dx、 dy的微面素 ABCD在坐標(biāo)平面發(fā)生很小正變形，線元 AB伸長 du，線元 AD縮短 dv，則其正應(yīng)變分別為： xdudx? ?ydvdy? ??圖 420 微面素在 xy坐標(biāo)平面內(nèi)的純變形 面素發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，線元 AB與 AD的夾角縮小了 γ ，此即為剪應(yīng)變。 圖 421 微體的變形 為便于分析，將變形前后微體投影于各坐標(biāo)軸平面。39。小變形時(shí)，認(rèn)為單元體邊長和體積變化完全由正應(yīng)變引起。主剪應(yīng)變與主應(yīng)變之間的關(guān)系，可以仿照主剪應(yīng)力與主應(yīng)力的關(guān)系寫出。由于 C值與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，常用簡單拉伸試驗(yàn)確定。當(dāng)試樣屈服時(shí)， 、 代入上式得 ?，F(xiàn)以 為縱坐標(biāo)， 為橫坐標(biāo) ,得 隨 變化的幾何圖形，如圖所示。 原因如下： （ 1）拉應(yīng)力會促使晶間變形，加速晶界破壞，壓應(yīng)力阻止或減少晶間變形；三向等壓作用的增強(qiáng)，晶間變形愈加困難。在同號主應(yīng)力狀態(tài)下，各主應(yīng)力在滑移面上所引起的剪應(yīng)力分量總要相互抵消一部分；在異號主應(yīng)力狀態(tài)下卻是相互疊加的。根據(jù)理論曲線必須通過實(shí)際曲線失穩(wěn)對應(yīng)點(diǎn)，使兩條曲線在失穩(wěn)對應(yīng)點(diǎn)處的斜率相等的條件，可以導(dǎo)出： bbbbSB????； n=3）變形溫度和應(yīng)變速率的影響 (1)變形溫度的影響 變形溫度升高，真實(shí)應(yīng)力 S和加工硬化速率降低；發(fā)生再結(jié)晶時(shí)，真實(shí)應(yīng)力－應(yīng)變曲線趨于一水平線（見圖），原因是：溫度升高，原子動(dòng)能增加，原子間結(jié)合力減弱，臨界剪應(yīng)力降低；發(fā)生回復(fù)或再結(jié)晶，部分或全部消除加工硬化；晶界滑移易于發(fā)生，減小晶界對晶內(nèi)變形的阻礙作用；擴(kuò)散性蠕變作用加強(qiáng)。 原因是： ★應(yīng)變速率增加，位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)速度加快，使臨界剪應(yīng)力增加； ★變形是在較高溫度下進(jìn)行，由于沒有足夠時(shí)間進(jìn)行回復(fù)或再結(jié)晶，影響金屬的軟化效果，擴(kuò)散性蠕變作用也不能充分發(fā)揮； ★ 隨著應(yīng)變速率的增加，溫度效應(yīng)亦增加，它導(dǎo)致真實(shí)應(yīng)力的降低； ★ 冷變形時(shí)的溫度效應(yīng)大，由此引起的真實(shí)應(yīng)力的降低必然比熱變形時(shí)的降低顯著。 1? 真實(shí)應(yīng)力 — 應(yīng)變曲線 條件應(yīng)力 — 應(yīng)變曲線 在是室溫、靜力拉伸條件下，在萬能材料實(shí)驗(yàn)機(jī)上用標(biāo)準(zhǔn)式樣求得退火低碳鋼的條件應(yīng)力 — 應(yīng)變曲線如圖 427所示。 （ 3）三向等壓作用能 抑制 材料中原先存在的各種缺陷的發(fā)展，部分或全部地消除其危害。在圖 427 中為一水平線。 密塞斯屈服準(zhǔn)則可以表述為： 材料質(zhì)點(diǎn)屈服的條件是當(dāng)其單位體積的彈性形狀變化能達(dá)到某一臨界值；該臨界值只取決于材料在變形條件下的性質(zhì)，而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。于是，屈雷斯加屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 : （ 414） m a x 1 31 ()2 C? ? ?? ? ?23 0????1 s???/2sC ??13 s? ? ???屈雷斯加屈服準(zhǔn)則存在的問題： （ 1）若 大小順序不知，無法使用。11()221()2()x m x y x zij y m y z ijzm? ? ? ?? ? ? ? ??????????? ? ????????6）主應(yīng)變狀態(tài)圖 定義：用主應(yīng)變的個(gè)數(shù)和符號來描述一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)的簡圖稱為主應(yīng)變狀態(tài)圖，簡稱主應(yīng)變圖。一般認(rèn)為塑性變形時(shí)體積不變，故有體積不變條件 ： 100VVV x y z? ? ??? ? ? ? ?0x y z? ? ?? ? ?5）應(yīng)變張量的一些主要結(jié)論 應(yīng)變張量和應(yīng)力張量十分相似，應(yīng)力理論中某些結(jié)論和公式，也可類推于應(yīng)變理論，只要把 換成 ， 換成 即可。39。由圖可見，原長 dx的 AB邊，在 x方向的正應(yīng)變?yōu)椋? 39。一般 ，將面素加一剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，使 ， 則剪應(yīng)變大小不變，純變形效果仍然相同， 和 分別表示 x和 y方向線元各向 y和 x方向偏轉(zhuǎn)的角度。為解方程，還應(yīng)尋找補(bǔ)充方程，或?qū)Ψ匠套鬟m當(dāng)簡化。3 1 2 3( ) ( ) ( ) 0()1( ) ( ) ( )6x m y m z mx y y z z x x y y z zxJJJ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ???????問題 ： 應(yīng)力球張量也存在三個(gè)不變量，其形式如何？ 7）主應(yīng)力狀態(tài)圖 定義：用主應(yīng)力的個(gè)數(shù)和符號來描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的簡圖稱為主應(yīng)力狀態(tài)圖，簡稱主應(yīng)力圖。 39。因此，應(yīng)力偏張量完全包含了應(yīng)力張量作用下的形狀變化因素，物體是否發(fā)生塑性變形只與應(yīng)力偏張量有關(guān)。 ( ) 0 0( ) 0 0( ) 0 0x x y x z x m x y x z mij y x y y z y x y m y z mz x z y z z x z y z m m? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ? ??? ? ? ??