高三數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單的三角恒等變換(完整版)
【正文】 ??????其中 cos φ ＝aa2＋ b2， sin φ ＝ba2＋ b2的形式 ． 【 特別提醒 】 解析式與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)若求函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、值域等問題時(shí)，一般要轉(zhuǎn)化為 y＝Asin(ωx＋ φ )＋ k的形式． 1．已知向量 a＝ (cos x－ 3， sin x)， b＝ (cos x， sin x－ 3)， f(x)＝ a178。1 ＋ cos α2－ 8－ 2 cos α ＝5 － 5cos α ＋ 8sin α ＋ 11 ＋ 11co s α － 16－ 2 2 cos α ＝8sin α ＋ 6cos α－ 2 2 cos α＝8tan α ＋ 6－ 2 2＝－5 26 【 方法點(diǎn)評(píng) 】 (1)化簡(jiǎn)的要求 ①能求出值的應(yīng)求出值； ②盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少； ③盡量使項(xiàng)數(shù)最少； ④盡量使分母不含三角函數(shù)； ⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)． (2)化簡(jiǎn)的方法 弦切互化，異名化同名，異角化同角；降冪或升冪，和差化積、積化和差等． 2．已知三角函數(shù)式的值，求其他三角函數(shù)式的值，一般思路為： (1)先化簡(jiǎn)所求式子； (2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系 (從三角函數(shù)名及角入手 )； (3)將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值． 3 ．已知 α 是第一象限的角，且 cos α ＝513， 求sin??????α ＋π4cos ( 2 α ＋ 4 π )的值． 【 解析 】 ∵ α 是第一象限的角， c os α ＝513， ∴ s in α ＝1213. ∴sin??????α ＋π4cos ( 2 α ＋ 4 π )＝22( sin α ＋ cos α )cos 2 α ＝22( sin α ＋ cos α )cos2 α － sin2 α＝22cos α － sin α ＝22513－1213＝－13 214. 1． (2020年上海高考 )函數(shù) f(x)＝ 2cos2 x＋ sin 2x的最小值是 ______． 【 解析 】 y ＝ 2 cos2 x ＋ s in 2x ＝ sin 2x ＋ 1 ＋ cos 2x ＝ 2 s in??????2x ＋π4＋ 1 ≥ 1 － 2 . 故 f ( x) 的最小值是 1 － 2 . 【 答案 】 1 － 2 2 ． (20 0 9 年全國(guó) Ⅰ 高考 ) 若π4 xπ2 ， 則函數(shù) y ＝ tan 2 x tan3 x的最大值為 _ _ ___ ___ ． 【 解析 】 π4xπ2， tan x1 ，令 tan2 x － 1 ＝ t 0 ， 則 y ＝ tan 2 x tan3 x ＝2ta n4 x1 － tan2 x＝2 ( t ＋ 1 )2－ t＝－ 2??????t ＋1t＋ 2 ≤ － 8 ，故填－ 8. 【 答案 】 － 8 3 ． (20 0 9 年江西高考 ) 若函數(shù) f(x ) ＝ (1 ＋ 3 tan x) cos x , 0 ≤ xπ2， 則 f(x ) 的最大值為 ( ) A ． 1 B ． 2 C. 3 ＋ 1 D. 3 ＋ 2 【 解析 】 f( x) ＝??????1 ＋ 3 178。cos α )2； 1 ＋ cos α ＝ 2cos2α2； 1 － cos α ＝ 2sin2α2； cos2 α ＝1 ＋ cos 2 α2； sin2 α ＝1 － cos 2 α2. 其中 cos2 α ＝1 ＋ cos 2 α2， sin2 α ＝1 － cos 2 α2稱為降冪公式 ， 而 1 － cos 2 α ＝ 2s in2 α ， 1 ＋ cos 2 α ＝ 2cos2 α 稱為升冪公式 ． 課時(shí)作業(yè) 點(diǎn)擊進(jìn)入鏈接 。cos x ＝ cos x ＋ 3 sin x ＝ 2s in??????x ＋π6， ∵0≤x π2， ∴π6≤x ＋π62 π3， ∴ 當(dāng) x ＋π6＝π2時(shí)， f(x) 取得最大值 2 ，故選 B.
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